在第 2 章中, 我们学习了单一离散型和单一连续型随机变量的概率模型. 然而, 在许多实际问题中, 需 要同时使用多个随机变量来描述随机现象. 例如, 在研究儿童生长的问题上, 仅研究儿童的身高或仅研究其 体重都是片面的, 有必要将身高和体重作为一个整体来考虑, 这就引出了多维随机变量的概念. 研究多维随机变量旨在揭示各变量之间的相互影响, 这是分别研究多个一维随机变量时无法获得的. 那么, 如何研究多维随机变量的统计规律性呢? 仿一维随机变量的研究方法, 我们先探讨多维随机变量的 联合分布函数. 3.1 多维随机变量及其联合分布 3.1.1 联合分布函数 【知识点 3.1】 对任意 n 个实数 x1, x2, · · · , xn, 事件 {X1 . x1} , {X2 . x2} , · · · , {Xn . xn} 同时发 生的概率 F (x1, x2, · · · , xn) = P (X1 . x1,X2 . x2, · · · ,Xn . xn) 称为 n 维随机变量 (X1,X2, · · · ,Xn) 的联合分布函数. 图 3-1 在考研数学中, 涉及的多维随机变量通常是二维的. 因此, 我们重点 介绍二维随机变量, 二维以上的情况可以类推. 对于二维随机变量 (X, Y ), 联合分布函数 F(x, y) = P(X . x, Y . y) 是事件 {X . x} 与 {Y . y} 同时发生的概率. 如果将二维随机变量 (X, Y ) 看作平面上随机点的坐标, 那么联合分布函数 F(x, y) 在点 (x, y) 处的函数值就是随机点 (X, Y ) 落在以 (x, y) 为顶点的左下无穷直角区域 (见图 3-1) 上的概率. 【例 3.1】 (2006·数一 22、数三 22) 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x) =8> >><> >>: 0.5, .1 < x < 0 0.25, 0 . x < 2 0, 其他 , 令 Y = X2, F(x, y) 为二维随机变量 (X, Y ) 的分布函数, 求 F . 1 2 , 4. 【解析】 由联合分布函数的定义可知 F .
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