[按需印刷]曲线与曲面的工程微分几何学

本书是一本关于三维Euclid空间中光滑…线与…面一般几何理论的基础性专门学术著作。全书共9章，可划分为四个部分。第1章为第一部分，主要讲授三维矢量的代数与分析，是全书的理论基础。第2、3章为第二部分，属于三维Euclid空间的…线论。第4～8章为第三部分，属于三维Euclid空间的…面论。第9章为第四部分，深入详细地研究了包络现象。相对于既有文献，本书补充了新内容，对传统内容也往往采用新方法加以处理，对于同一问题有的还给出了不同的解法或证明，以例题的形式对工程中常见…线、…面的几何性质做了比较深入的定量研究讨论，还能够把其他数学分支的理论与方法自然地应用于经典微分几何的研究。本书思路清晰，推

目录
前言
第1章 预备知识 1
1.1 基本概念 1
1.2 矢量的代数运算 3
1.2.1 矢量加减法 3
1.2.2 矢量的数乘 3
1.2.3 矢量的点积 3
1.2.4 矢量的矢积 4
1.2.5 矢量的混合积 6
1.2.6 二重矢积与Lagrange恒等式 7
1.3 矢量函数及其微积分 12
1.3.1 矢量函数的概念 12
1.3.2 矢量函数的极限与连续 12
1.3.3 矢量函数的导矢量函数及其方向 13
1.3.4 矢量函数的Taylor公式 17
1.3.5 矢量函数的积分 19
1.4 几种具有特殊性质的矢量函数 21
1.4.1 具有固定长度的矢量函数 21
1.4.2 具有固定方向的矢量函数 21
1.4.3 位于某一平面内的矢量函数 22
1.5 坐标变换 24
1.5.1 坐标变换与微分几何的联系及物理背景 24
1.5.2 有公共原点的坐标系间的旋转变换 25
1.5.3 旋转-平移复合变换 28
1.5.4 以坐标变换为背景的矢量点积和矢积运算 30
1.6 圆矢量函数与球矢量函数 33
1.6.1 圆矢量函数与球矢量函数的定义 33
1.6.2 圆矢量函数与球矢量函数的运算规则 35
1.6.3 运算举例 35
参考文献 36
第2章 空间…线 37
2.1 正则参数…线 37
2.2 …线的弧长 41
2.3 …线的基本矢、基本三棱形及…线与平面的切触 46
2.4 空间…线的…率与挠率 53
2.5 空间…线的Frenet-Serret公式及其运动学意义 58
2.5.1 一条引理及有关几何解释 58
2.5.2 Frenet-Serret公式的推导 61
2.5.3 Frenet-Serret公式的运动学意义 62
2.5.4 利用Frenet-Serret公式研究空间…线 65
2.6 …线在一点邻域内的形状与…线的切触 72
2.6.1 空间…线的近似…线 72
2.6.2 …线与…线的切触 78
2.7 空间…线论基本定理 81
参考文献 90
第3章 平面…线 91
3.1 平面…线的Frenet-Serret公式 91
3.2 平面…线相对…率的计算公式 94
3.3 …率圆和…率半径 98
3.4 平面…线的自然方程 100
3.5 …线的渐伸线与渐缩线 105
3.5.1 渐伸线的求法 106
3.5.2 渐缩线的求法 111
参考文献 119
第4章 …面的概念、第一基本形式及相关性质 120
4.1 …面的概念 120
4.2 …面的切平面与法线 124
4.3 几种常见的简单…面 127
4.3.1 旋转面（回转面） 127
4.3.2 螺旋面 130
4.3.3 直纹面 132
4.4 可展…面及其分类 136
4.4.1 可展…面的定义 136
4.4.2 可展…面的分类 138
4.5 第一基本形式与第一类基本量 141
4.6 …面的度量性质 145
4.6.1 …面上…线段的长度 145
4.6.2 …面两切矢的夹角 147
4.6.3 …面面积 150
4.7 …面的等距变换、等角变换和等面变换与…面的内蕴性质 154
4.7.1 …面的等距变换与…面的内蕴性质 154
4.7.2 …面的等角变换 160
4.7.3 …面的等面变换 164
参考文献 166
第5章 …面的第二基本形式与法…率 168
5.1 第二基本形式与第二类基本量 168
5.2 法…率 176
5.3 渐近方向、渐近…线与渐近网 182
5.4 主…率与主方向 187
5.5 …率线及其几何特征 194
5.6 Euler公式 204
参考文献 230
第6章 …面论的张量方法与标架微分方法 232
6.1 …面上自然标架的运动公式 232
6.2 …面理论的基本方程 244
6.2.1 Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的建立 245
6.2.2 Gauss方程的独立性与Riemann…率张量 247
6.2.3 Codazzi-Mainardi方程的独立性及其采用Gauss…面论符号的表达法 254
6.2.4 方程总结 255
6.3 Gauss…率的内蕴表示及其几何意义 259
6.4 …面论的基本定理 270
6.5 …面理论中的标架微分方法 277
参考文献 288
第7章 基于…率的…面研究 289
7.1 正则…面的Dupin指标线 289
7.2 共轭方向和共轭…线网 296
7.3 法…率对弧长的导数 304
7.4 …面在一点近旁几何形状研究 309
7.4.1 …面方程的三阶展式 310
7.4.2 替代…面在单位正交标架中的方程及其渐近性质 312
7.4.3 替代…面在主标架中的方程及其主…率和主方向 314
7.4.4 替代…面与原…面在公切点邻域中的法向距离 316
7.4.5 …面在一点邻域内的近似形状 319
7.5 直纹面和可展面的…率特征 322
7.6 常Gauss…率…面 328
7.6.1 常Gauss…率的回转面 328
7.6.2 常Gauss…率的螺旋面 335
7.6.3 零Gauss…率的螺旋面 341
7.7 平均…率为0的…面 348
7.7.1 “极小…面”称谓的由来 348
7.7.2 极小…面微分方程及其初等解 350
7.7.3 按…面的类别寻求极小…面 356
7.8 平均…率为非0常数的旋转面和螺旋面 366
7.8.1 平均…率为非0常数的旋转面 366
7.8.2 平均…率为非0常数的螺旋面 371
参考文献 382
第8章 测地…率和测地挠率及其应用 384
8.1 测地…率 384
8.2 测地线 394
8.2.1 测地线的定义与一般性质 394
8.2.2 测地线微分方程及其不同形式 394
8.2.3 测地线的短程性 398
8.2.4 具体…面上的测地线 400
8.3 测地挠率 408
8.3.1 测地挠率的定义与基本计算公式 408
8.3.2 Bertrand公式及与之相关的测地挠率性质 410
8.3.3 测地挠率和测地…率在寻求…面近似方程中的应用 415
8.4 …面…线标架运动公式 424
8.4.1 …面…线标架运动公式的建立 424
8.4.2 …面…线标架运动公式的运动学意义 426
8.4.3 推广的Rodrigues方程 430
8.5 推广的Euler公式和Bertrand公式 454
8.5.1 …挠圆 454
8.5.2 基于法…率和测地挠率的平均…率与Gauss…率计算式 455
8.5.3 推广的Euler公式和Bertrand公式 456
8.6 …面…率分析综合举例 462
8.6.1 法向圆弧螺旋面方程的建立 462
8.6.2 法向圆弧螺旋面的单位法矢量和两类基本量 463
8.6.3 法向圆弧螺旋面上的活动标架和它的…率参数 465
8.6.4 法向圆弧螺旋面测地…率的计算 467
参考文献 471
第9章 包络理论 472
9.1 单参数…面族的包络面、接触方程与特征线 472
9.2 单参数…面族包络面的奇点条件 478
9.3 单参数平面族的包络面 487
9.4 单参数平面…线族的包络线 498
9.5 双参数…面族的包络面及接触方程 503
9.6 双参数…面族的两类界线 512
9.6.1 接触界线 512
9.6.2 …率干涉界线 517
9.6.3 矢量Nj（j=1,2）的特性 521
9.6.4 偏…率干涉界线函数*1t2和*2t1的关系式 524
9.7 双参数…面族的包络面及两类界线计算举例 526
9.7.1 双参数渐开螺旋面族 526
9.7.2 接触方程及其解 526
9.7.3 接触界线 532
9.7.4 包络面方程 533
9.7.5 …率干涉界线 537
附录 双参数渐开螺旋面族方程（9.7.1）的推导 539
参考文献 541

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