- 商品参数
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- 作者:
孙明正、李冱岸、张建国、邹杰涛著
- 出版社:清华大学出版社
- 开本:16开
- ISBN:9785096581168
- 版权提供:清华大学出版社
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以较少的篇幅讲述工科研究生所需的泛函分析基础知识的教材。
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基本信息
| 商品名称: | 工科泛函分析基础 | 开本: | 16开 |
| 作者: | 孙明正、李冱岸、张建国、邹杰涛 | 定价: | 28.00 |
| ISBN号: | 9787302530961 | 出版时间: | 2019-07-31 |
| 出版社: | 清华大学出版社 | 印刷时间: | 2019-07-16 |
| 版次: | 1 | 印次: | 1 |
目录
章预备知识
1.1确界与*值
1.2数列收敛与实数完备性
1.3函数的连续与函数列的收敛
1.4勒贝格积分简介
1.5线性空间
1.6映射与算子
1.7常用不等式
习题1
第2章距离空间
2.1距离空间的定义
2.2距离空间中的收敛与连续
2.3可分空间
2.4完备化空间
2.5压缩映射定理
习题2
第3章巴拿赫空间
3.1赋范线性空间
3.2巴拿赫空间的定义
3.3有界线性算子
3.4算子空间
3.5弱收敛
3.6紧算子
3.7广义函数与分布空间
习题3
目录
目录
第4章希尔伯特空间
4.1内积空间
4.2规范正交基
4.3*逼近与投影算子
4.4里斯定理
4.5内积应用的例子
习题4
第5章巴拿赫空间中的基本理论
5.1延拓定理与共轭算子
5.2一致有界性定理
5.3逆算子定理
习题5
第6章索伯列夫空间
6.1索伯列夫空间W1,20(Ω)
6.2索伯列夫空间Wk,p0(Ω)
6.3弱导数
6.4弱解
习题6
习题答案
参考文献
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章预 备 知 识
本章首先复习高等数学及线性代数中的一些知识,比如数列与函数的收敛、函数列的一致连续等; 其次介绍更一般的积分——勒贝格积分及其性质; *后给出线性空间及线性算子的定义及性质。这些知识是本书的基础,其中一些比如极限的εδ定义是本书常用的证明工具,希望读者熟练掌握并应用。
本书使用R表示实数集,Q表示有理数集,Z表示整数集,Z 表示正整数集,即Z ={1,2,…}。
1.1确界与*值
定义1.1.1设X是实数集R中的非空子集,如果M∈R是X的*小上界,即
(1) a∈X,有a≤M,
(2) a∈X,若a≤b,则M≤b,
那么称M为X的上确界,记作M=supX=supx∈X{x}。
定义1.1.2设X是实数集R中的非空子集,如果m∈R是X的*下界,即
(1) a∈X,有a≥m,
(2) a∈X,若a≥d,则m≥d,
那么称m为X的下确界,记作m=infX=infx∈X{x}。
定义1.1.3若集合X的上确界M∈X,则称M为X的*值,记作
M=maxX=maxx∈X{x};
若集合X的下确界m∈X,则称m为X的*小值,记作
m=minX=minx∈X{x}。
1.1确界与*值
例1.1.4
(1) sup[0,1]=1=max[0,1],inf[0,1]=0=min[0,1];
(2) sup(0,1)=1,max(0,1)不存在;
(3) inf(0,1)=0,min(0,1)不存在。
1.2数列收敛与实数完备性
1.2数列收敛与实数完备性
在这一节中,我们复习高等数学中数列的收敛及其性质,并利用柯西数列来理解实数空间的完备化。
1. 数列收敛
定义1.2.1(εδ定义)设{xn}为实数集R中的数列,常数a∈R,如果ε>0,N∈Z ,使得当n>N时,下式成立
|xn-a|<ε,
那么称数列{xn}为收敛数列且收敛于a(或者极限为a); 记为xn→a(n→∞),或者
limn→ ∞xn=a。
定义1.2.2对于R中的数列{xn},若存在常数M>0使得
|xn|<M,n∈Z ,
则称数列{xn}有界。
注收敛数列的极限必*; 若数列收敛,则数列有界。这些性质的证明留为课后作业。
定义1.2.3设有R中的数列{xn},若ε>0,N∈Z ,使得当n,m>N时有
|xn-xm|<ε,
则称数列{xn}为柯西(Cauchy)数列,也称为柯西列(基本列)。
例1.2.4证明R中的收敛数列是柯西数列。
证若在R中xn→x(n→∞),则ε>0,N∈Z ,使得当n,m>N时有
|xn-x|<ε2,|xm-x|<ε2;
根据*值的三角不等式,当n,m>N时有
|xn-xm|≤|xn-x| |x-xm|<ε2 ε2=ε,
所以{xn}是柯西数列。证毕
注虽然收敛数列一定是柯西数列,但在一般的集合中柯西数列不一定收敛,这主要由数列所在的集合决定的。比如,数列
1 1nn
作为实数列是一个柯西数列,并且在实数集中收敛到e。但在有理数集Q范围内,虽然也是一个柯西数列,却没有极限,因为eQ。
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全书主要介绍实分析基础、距离空间、赋范空间与 Banach空间、内积空间与 Hilbert空间、有界线性算子的基本理论、有界线性算子的谱分析等内容.全书概念简洁,内容紧凑,在强调泛函分析方法的概括性与应用的普适性的同时,突出数学思维方式的训练和数学素养的培养,恢复数学自然、生动、充满活力的本来面目.
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孙明正,北方工业大学理学院副教授,北京大学数学科学学院理学博士。已经主编《线性代数精讲精练》、《线性代数练习册》等教材与教辅。
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