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| 产品展示 | 悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐 |
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| 基本信息 | 悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐 |
| 商品名称： | 量子力学 卷II 第五版 |
| 作 者： | 曾谨言 |
| 定 价： | 89.00 |
| 重 量： | |
| ISBN 号： | 9787030394613 |
| 出 版 社： | 科学出版社 |
| 开 本： | 16 |
| 页 数： | 564 |
| 字 数： | 710000 |
| 装 帧： | |
| 出版时间/版次： | 2014-2-1 |
| 印刷时间/印次： | 2014-2-1 |
| 编辑推荐 | 悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐 |
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| 内容介绍 | 悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐 |
| 《量子力学 卷Ⅱ （第五版）》是作者根据多年在北京大学物理系和清华大学物理系(基础科学 班)教学与科研工作的经验而写成,20世纪80年代初出版以来,深受读 者欢迎.物理有关专业本科生、研究生和出国留学生几乎人手一册.《量子力学 卷Ⅱ （第五版）》 还在台湾以繁体字出版发行,广泛流传于华裔读者中.作为《现代物理学 丛书》之一,《量子力学 卷Ⅱ （第五版）》是其中仍在出版发行的WY的一部学术著作,每年都重 印发行.《量子力学 卷Ⅱ （第五版）》先后做了几次修订,现在出版的是第五版.《量子力学 卷Ⅱ （第五版）》第二版 (1990)做了大幅度修订与增补,分两卷出版.卷栺可作为本科生教材或 主要参考书,卷栻则作为研究生的教学参考书.《量子力学 卷Ⅱ （第五版）》也是物理学工作者的 一本有用的参考书.卷栻主要包括:量子态的描述、量子力学与经典力学的关系、量子力 学新进展简介,二次量子化、路径积分、量子力学中的相位、角动量理 论、量子体系的对称性、氢原子与谐振子的动力学对称性、时间反演、相 对论量子力学、辐射场的量子化及其与物质的相互作用.为便于读者学习 《量子力学 卷Ⅱ （第五版）》,书后附有分析力学简要回顾以及群与群表示理论简介. 暋 |
| 作者介绍 | 悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐 |
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| 目录 | 悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐 |
| 目 录 第五版序言 第四版 (2007 年) 序言 (摘录) 第三版 (2000 年) 序言 (摘录) 第二版 (1990 年) 序言 (摘录) DY版 (1981 年) 序言 (摘录) 卷I总 第1章 量子力学的诞生 第2章 波函数与Schr6dinger方程 第3章 一维定态问题 第4章 力学量用算符表达 第5章 力学量随时间的演化与对称性 第6章 中心力场 第7 章 粒子在电磁场中的运动 第8 章 表象变换与量子力学的矩阵形式 第9 章 自旋 第10章 力学量的本征值的代数解法 第11章 束缚定态微扰论 第12章 量子跃迁 第13章 散射理论 第14章 其他近似方法 数学附录 附录一波包 附录二毮函数 附录三 Hermite多项式 附录四 Legendre多项式与球谐函数 附录五合流C几何函数 附录六 Bessel函数 附录七径向方程的解在奇点r=0邻域的行为 附录八自然单位 卷栻总 第1章量子态的描述 第2章量子力学与经典力学的关系 第3章量子力学新进展简介 第4章二次量子化 第5章路径积分 第6章量子力学中的相位 第7章角动量理论 第8章量子体系的对称性 第9章氢原子与谐振子的动力学对称性 第10章时间反演 第11章相对论量子力学 第12章辐射场的量子化及其与物质的相互作用 数学附录 附录A分析力学简要回顾 附录B群与群表示理论简介 卷栻章节 第1章量子态的描述1 1.1量子力学基本原理的回顾1 1.1.1 波动-粒子两象性，波函数的统计诠释1 1.1.2力学量用算符描述，本征值与本征态，Heisenberg不确定度关系3 1.1.3 量子态叠加原理，表象与表象变换5 1.1.4 量子态随时间的演化，Schodinger方程，定态9 1.1.5 对Bohr互补性原理的理解11 1. 2 密度矩阵12 1.2.1 密度算符与密度矩阵13 1.2.2 混合态的密度矩阵18 1. 3 复合体系21 1.3.1 直积态与纠缠态21 1.3.2 约化密度矩阵22 1. 3. 3 Schmidt 分解，von NeumAnn 摘23 1.3.4 波函数统计诠释的一种观点 24 第2章量子力学与经典力学的关系26 2. 1 对应原理26 2. 2 Poisson括号与正则量子化33 2. 3 Schr昳dinger波动力学与经典力学的关系42 2. 3. 1 Schrodinger 波动方程与 JAcobi-HAmihon 方程的关系42 *2.3.2 Schrodinger波动方程提出的历史简述44 *2.3.3力学与光学的相似性 45 *2.3.4 Bohm的量子势观点47 2 4 WKB准经典近似47 2. 4. 1 WKB准经典近似波函数47 2.4.2 势讲中粒子的准经典束缚态，Bohr-Sommerfeld量子化条件50 2.4.3 势垒隧穿 52 *2.4.4 中心力场中粒子的准经典近似58 *2.4.5 严格的量子化条件62 2 5 Wigner函数，量子态的测量与制备64 *2.6谐振子的相干态69 * 2. 6. 1 Schrodinger的谐振子相干态69 *2.6.2 湮没算符的本征态 72 *2.6.3 相干态的一般性质74 *2.6.4谐振子的压缩相干态 77 * 2. 6. 5 谐振子相干态与Schodinger猫态的Wigner函数79 * 2. 7 Rydberg波包，波形的演化与恢复83 习题 93 第3章量子力学新进展简介97 3.1 EPR佯谬与纠缠态 97 3.1.1 EPR 佯谬97 3.1.2 2电子纠缠态，Bell基 101 3.1.3 光子的偏振态与双光子纠缠态103 3.1.4 N (N曒3)量子比特的纠缠态，GHZ态 105 3.2 Bell 定理107 3.2.1 Bell不等式，CHSH不等式，局域实在论107 3.2.2 Bell不等式与实验的比较109 3.2.3 GHZ 定理111 3.2.4 非隐变量定理112 3.3 Schrodinger猫态佯谬，退相干115 3.3.1 Schrodinger 猫态伴谬 115 3.3.2纠缠与退相干，量子力学与经典力学的关系116 3.3.3 介观与宏观Schrodinger猫态的制备 119 3.3.5 量子态工程124 3.4 纠缠与不确定性 125 3.4.1 纠缠的确切含义 126 3. 4. 2 纠缠与不确定度关系的联系127 3. 4. 3 纠缠纯态的一个判据128 3. 4. 4 几个示例129 3. 5 量子信息理论简介 131 3.5.1 量子计算与量子信息理论基础131 3.5.2 量子不可克隆定理 135 3.5.3 量子态远程传递 136 3.5.4非局域性与量子纠缠的进一步探讨 140 第4章二次量子化144 4.1 Q同粒子系的量子态的描述144 4. 1. 1 粒子数表象144 4.1.2产生算符与湮没算符，Q同Bose子体系的量子态的描述145 4.1.3 Q同Fermi子体系的量子态的描述 147 4.2 Bose子的单体和二体算符的表示式150 4. 2. 1 单体算符150 4. 2. 2 二体算符152 4.3 Fermi子的单体和二体算符的表示式 158 4. 3. 1 单体算符158 4. 3. 2 二体算符160 4.4 坐标表象与二次量子化162 4. 4. 1 坐标表象162 4.4.2 无相互作用Fermi气体165 4.4.3无相互作用无自旋粒子多体系168 4.5 HArtree-Fock自洽场，独立粒子模型170 4.6 对关联，BCS波函数，准粒子176 习题185 第5章路径积分188 5. 1 传播子189 5.2 路径积分的基本思想193 5.3路径积分的计算方法195 5.4 FeynmAn路径积分理论与Sch昳dinger波动方程等价 198 5.4.1 从FeynmAn路径积分到Sch昳dinger波动方程 198 *5.4.2 FeynmAn路径积分提出的历史简介200 *5.4.3 量子理论发展历史的反思2025.5位形空间和相空间的路径积分204 5.5.1 位形空间中的路径积分204 5.5.2 相空间中的路径积分206 5. 6 AB (AhAronov-Bohm)效应207 第6章量子力学中的相位217 6. 1量子态的常数相位不定性217 6. 2 含时不变量，Lewis-Riesenfeld (LR)相219 6.3 突发近似与绝热近似222 6. 3. 1 突发近似223 6.3.2 量子绝热定理及成立条件224 6.3.3 量子绝热近似解，绝热相229 6. 4 Berry 几何相231 6. 5 AhAronov-AnAndAn 相234 第7章角动量理论239 7.1量子体系的有限转动239 7.1.1 量子态的转动，转动算符239 7.1.2 角动量本征态的转动，D函数240 7.1.3 D函数与球谐函数的关系244 7.1.4 D函数的积分公式 246 7.2 陀螺的转动247 7.2.1 陀螺的 HAmilton 量248 7.2.2对称陀螺的转动谱的代数解法250 *7.2.3 非轴对称陀螺的转动谱252 7.3 不可约张量，Wigner-EckArt定理253 7.3.1 不可约张量算符 253 7. 3. 2 Wigner-EckArt 定理256 *7. 4 多个角动量的耦合260 *7.4.1 3个角动量的耦合，RAcAh系数，6j符号 261 *7.4.2 4个角动量的耦合，9；符号 268 *7. 5 张量积，矩阵元272 * 7. 5. 1 张量积272 *7.5.2 张量积的矩阵元274 *7.5.3 一阶张量的投影定理，矢量模型279 第8章量子体系的对称性283 8. 1 绪论283 8.1.1 对称性在经典物理学中的应用283 8.1.2 对称性在量子物理学中的深刻内涵 285 8. 2守恒量与对称性 288 8.3量子态的分类与对称性297 8.3.1量子态按对称性群的不可约表示分类297 8.3.2 简并态的标记，子群链300 8.3.3 力学量的矩阵元 301 8.4能级简并度与对称性的关系304 8. 4. 1 —般讨论304 8.4.2 二维势阱中粒子能级的简并性306 8.4.3 轴对称变形势 310 8.4.4能级简并性，壳结构与经典轨道闭合性的关系312 8.5对称性在简并态微扰论中的应用314 8. 5. 1 一般原则314 8.5.2对称性在原子光谱分析中的应用，LS耦合 319 第9章氢原子与谐振子的动力学对称性325 9.1中心力场中经典粒子的运动，轨道闭合性与守恒量325 9.1.1 氢原子轨道的闭合性，Runge-Lenz矢量 325 9.1.2各向同性谐振子轨道的闭合性326 9.1.3 独立守恒量的数目与轨道的闭合性 328 *9.1.4 BertrAnd定理及其推广 332 9.2 氢原子的动力学对称性 336 9.2.1 二维氢原子的O3动力学对称性336 9.2.2 三维氢原子的O4动力学对称性339 *9.2.3 屏蔽Coulomb场的动力学对称性 343 *9.2.4 n维氢原子的O?+1动力学对称性345 9.3各向同性谐振子的动力学对称性350 9.3.1 各向同性谐振子的幺正对称性350 9. 3. 2 二维各向同性谐振子352 9. 3. 3 三维各向同性谐振子354 9.4 C对称量子力学方法355 9.4.1 Schrodinger因式分解法的简要回顾355 9.4.2 C对称量子力学方法，一维Schrodinger方程的因式分解357 *9.4.3 形状不变性 361 * 9. 5 径向Schrodinger方程的因式分解367 *9.5.1三维各向同性谐振子的四类升、降算符367 *9.5.2 二维各向同性谐振子的四类升、降算符372 *9.5.3三维氢原子的四类升、降算符 375 *9.5.4 二维氢原子的四类升、降算符 378 * 9. 5. 5 径向Schrodinger方程的可因式分解性380 *9.5.6 n维氢原子和各向同性谐振子的四类升、降算符383 ? xxviii ? *9.5.7 —维谐振子与氢原子386 第10章 时间反演 388 10.1 时间反演态与时间反演算符389 10.2 时间反演不变性394 10.2.1 经典力学中的时间反演不变性394 10.2.2 量子力学中的时间反演不变性395 10.2.3 Sch昳dinger方程与时间反演不变性397 10.2.4 T2本征值与统计性的关系398 10. 2. 5 KrAmers 简并399 10.3力学量的分类与矩阵元的计算400 第11章相对论量子力学402 11.1 Klein-Gordon 方程404 11.2 DirAc 方程409 11.2.1 DirAc方程的引进 409 11.2.2 电子的速度算符，电子自旋412 11.2.3 A与^的矩阵表示 413 *11.2.4 中微子的二分量理论416 11.3 自由电子的平面波解418 11.4 电磁场中电子的DirAc方程与非相对论极限422 11.4.1 电磁场中电子的DirAc方程422 11.4.2 非相对论极限与电子磁矩 423 11. 4. 3中心力场下的非相对论极限，自旋轨道耦合424 11.5氢原子光谱的精细结构427 11.5.1 中心力场中电子的守恒量 427 11.5.2 (i暷，j2，j)的共同本征态429 11.5.3 径向方程 430 11.5.4 氢原子光谱的精细结构 432 习题445 第12章辐射场的量子化及其与物质的相互作用448 12. 1 经典辐射场449 12.1.1 经典电动力学简要回顾 449 12.1.2经典辐射场的平面波展开 451 12. 2 辐射场的量子化455 12. 3 多极辐射场及其量子化458 12.3.1 经典辐射场的多极展开458 12.3.2 多极辐射场的量子化462 12.4 自发多极辐射464 附录A分析力学简要回顾471 A. 1Z小作用原理与LAgrAnge方程 471 A. 2 HAmilton 正则方程，Poisson 括号475 A. 3 正则变换，生成函数479 A. 4 JAcobi-HAmilton 方程484 A. 5 正则方程的积分487 附录B群与群表示理论简介491 B. 1 群的基本概念492 B. 1. 1 群与群结构492 B. 1. 2 子群与陪集495 B. 1. 3 类，不变子群，商群 496 B. 1. 4 同构与同态497 B. 2 量子体系的对称性变换群498 B. 2. 1 幺正变换群498 B. 2 . 2 置换群502 B. 3 群表示的基本定理505 B. 3 . 1 群表示的基本概念 505 B. 3 . 2 有限群的表示的两条基本定理507 B. 4 特征标513 B. 4 . 1 特征标概念513 B. 4 . 2 几条重要定理514 B. 4 . 3特征标的一种计算方法，类的乘积516 B. 5 群表示的直积与群的直积519 B. 5 . 1 群表示的直积及其约化519 B. 5 . 2 群的直积及其表示 521 参考书目525 索引527 |
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| 第1章量子态的描述 1.1量子力学基本原理的回顾 1.1.1波动-粒子两象性，波函数的统计诠释 经典力学中，一个粒子的运动状态，可用它在每一时刻t的坐标和动量（即相 空间中一个点）给出确切的描述；而运动状态随时间的演化，遵守Newton方程（或 与之等价的正则方程等）.所以，如粒子在初始0 = 0)时刻的坐标和动量一经给定， 则以后任何t>0时刻粒子的运动状态就随之而定.这是一个决定论性的（deterministic) 描述 . 无数实验已确切证明，微观粒子具有波动-粒子两象性（wAve-pArticle duAti-ty).可以理解，微观粒子的运动状态的描述方式及其随时?间演化的规律，B然不同 于经典力学中的粒子. 对波动-粒子两象性做认真分析（卷I ,2.1节）后，可以看出，实验观测中所展 现出来的“粒踿性”，踿不过踿微踿粒子踿“踿踿性” (Atomicity)或“颗踿踿” (cor-pusculAiy),即粒子是具有确切踿踿禀属性（电?荷?、质量等）的一个客?体，但并不意 味着粒子在空间中的运动具有确切的轨道，后一概念乃是经典力学中粒子运动的 特性，与双缝干涉实验中显示出的粒子的波动性是不相容的.近年来已有直接实验 (所谓“which-wAy”实验）证明栙，当人们可以确切判断粒子是从双缝中的哪一条缝 穿过时，双缝干涉花纹就会完Q消失. 另一方面，实验观测到的微观粒子的“踿动ft”,踿?过是踿踿踿率?踿?踿? 素，即波的“相干叠加性’’（coherent superposition)，但并不意味着这种波动一定是 ?种?实?在?的物理定定波动(例如密度波、压强波等). 人们经过认真分析后发现，要把经典粒子的Q部属性和经典波动的Q部属性 统一于同一客体是绝不可能的.能把粒子性和波动性统一起来的，更确切地说，能 把定物粒子的“原定定，，定定动定“定干叠定定，，统一定定的，定一自定的方案定 定.B orn提出的‘ ‘概率波’ ’(定ro bAb ili t y wA ve )概念，^ P波函数的统计iQ释2.这已为 无数实验所确证.为此，Born获得1954年Nobel物理学奖. 1 例如，S. Diirr，T. Nonn & G. Rempe，NAture 395(1998) 33，Origin of quAntum-mechAnicAl complementArity probed by A “which-wAy” experiment in An Atom interferometer. 2 M. Born，Zeit. Phys. 38(1926) 803;NAture 119(1927) 354；P. JordAn， Zeit. Phys. 41 (1927) 797； W. Heisenberg，Zeit. Phys 43(1927) 172. 按照Born的波函数的统计诠释，设一个粒子的波动性用波函数氉(复）描 述，则 | 氉(r) | 2d:rd;yd2： (1. 1. 1) 就是发现粒子位置在r点的体积元dzd^ds：中的概率.按照概率的含义，显然要求 波函数满足归一化条件 j'j'j' | 氉（r) I 2dicd^dx = 1 (1. 1. 2) (Q空间） 但应当强调，踿踿分布踿Z实质踿的内容踿“踿对踿踿分踿暠.因此，氉（）与 C氉(r)(C是不依赖于粒子坐标的?任意常数)所描述的粒子在空间不同地点的相对 概率分布是完Q相同的，即描述的是同一个概率波.所以量子力学中的波函数总是 具有常数因子的不定性.这一特点是经典波决不可能有的.列如，经典波的振幅如 增大1倍，则相应的实在物理量（如振动的能量)将增为4倍.正是基于这种常数因 子不定性，一个波函数总可以要求它满足归一化条件（1. 1.2)?.在保证归一化条 件下，波函数还有相位不定性，因为氉与e^Kd为实常数 > 所描述的概率分布完Q 相同，而且如氉满足归一化条件（1. 1. 2)则e氉显然也是归一化的. 对于多粒子体系，例如2粒子体系，波函数氉（1’d描述的是6维位形空间 (configur41i4n sp Ace )中的波动，除了给予概率诠释外，别无他途，因为“6维空间中 的实在物理量的波动”是难以理解的. 虽然长期以来一直有人对波函数的统计诠释提出了各式各样的批评，但波函 数的统计诠释已经在无数实验中被证明是正确的?我们认为，在人们现今对于物质 粒子存在形式的概念框架之下，波函数的统计诠释是能把波动粒踿踿象性踿踿起 来的惟一符合实验的方案，?尽?管从经典物理学的概念来看，?它?是格格不入的.^ '' ‘踿还应该强调，?波?函?数?的统计诠释中的概率分布，与数学概率论中的概率分布概 念有本质不同.在日常生活中，人们之所以要借助于概率统计理论来处理问题，是 因为所处理的问题太复杂，决定事物进程的因素较多，人们无法根据已掌握的事 物的现状去准确预测事物尔后出现的结果，所以不得不借助概率统计的方法进 行预测.在量子力学中，波函数B须采用统计诠释是由波动粒子两象性所导致 的.波函数所预言的概率分布，只是对粒子测量结果的一种预期(expectAtion),并 非粒子已经具有那样的分布(既成事实 > 等待人们去观测它?初学者往往对此有 各种各样的误解?这里就涉及纯态（纯系综)和混合态（混合系综）的概念，将于 2. 2节中讨论. 基于波函数的统计诠释，有人认为，量子力学对事物的描述总是概率性的 (probAbilistic).这是一种片面的看法.量子力学中，对于用波函数描述的微观粒 ?尽管任何量子体系的实际波函数，总是归一化的，考虑到波函数的要害是描述相对概率分布，量子 力学中并不排除使用一些理想的、不能归一化的波函数，如平面波，毮波包等.详见卷I . 4. 4节.子，并非踿踿有物踿踿踿测踿结果的踿言踿是踿率踿的.这要看人们测量的是哪一 个力?学?量‘.踿踿踿某踿力学踿的踿测踿踿的预踿只踿踿概率性的，而对另外某些力 学量的观测的预言则可能是决定论性的（deterministic)，即只能出现惟一的结果， 概率为1.这里就涉及力学量的踿征踿的概念（? 1. 2节>和本踿踿踿相目踿叠加的概 念（1. 1. 3节）.这也可以认为是Bohr特别强调的“互补性原理”（omplementArity principle)的一个重要方面.波函数的统计诠释的更普遍的表述将在1. 1. 3节中 给出. 1. 1. 2力学量用算符描述，本征值与本征态，Heisenberg不确定度关系 考虑到波动粒子两象性，微观粒子的力学量B定有与经典粒子本质上不同的 特征.首先，按照de Broglie关系4 = http://image.suning.cn p =氉 *(r)p 氉（r)d3r， 暷=—tih (1.1.3) 可以看出动量平均值p是与波函踿踿踿度(而不是与踿函数在某踿的nr域值)no 联系氉(r )的梯度愈大，就表现为波长愈短，因而?动?量?平?均值就愈大;这在物?理'图像 踿是很清楚的. 按动量算符的上述表示式，它的直角坐标分量_/5A(( = T，：y，；s)与坐标各分量工毩 (二^，；)7，2^满足下列对易关系式： [x毩，暷]曉xAp毬—毩=t毮毬 (1- 1 4) 这正是HeisenbergZX提出的粒子的坐标和动量的乘法不对易关系.（1. 1. 4)式 是?子力学踿踿本?踿易关踿踿，踿波?粒踿两踿性?表?.凡有经典对应的力 学量之间的对易关系，均可由它导出.如粒子的角动量暷=rX暷的分量之间的对 易关系 [毩，1毬]=t毰毬毭1毭 (1. 1. 5) 毰毭为Levi-CivitA符号. 波动-粒子两象性的另一个集中表现就是坐标-动量不确定度关系(uncertAinty relAtion) h 殼x毩殼p毬> ^■毮毬 (毩^毬=xtytz) (1.1.6) 事实上，对于任何波动（无论是经典波或概率波）都可以证明 殼x殼k 燁 1 (1. 1. 7) 式中k为波数.注意：式（1. 1. 7)还不是量子力学中的不确定度关系.但如考虑到微 观粒子的波动性，按de Broglie关系，_p = hk(k = 2Tc/A).由式（1.1.7)即可导出 此即坐标—动量不确定度关系，它是微观粒子具有波动性的B然结果. 不确定度关系概定定指明：定定到定动-粒定定象定定人定定不定Q定套用经典定 子的所有概念，特别是轨道运动'概念，来描.述.微.观?粒?子，它指明了应用经典粒子运动 概念来描述微观.粒.子应受到.的.限制从形.式上.讲，当h曻0时，粒子波长毸=h/p曻-， 殼X殼p x曻定，波动效应(^定量子效定)就可以忽略，而经典力学就可以很好地描述粒 子的运动.在此极限下，粒子的坐标和动量就彼此对易，粒子的轨道运动概念也就 很好地成立，这正是日常生活中使用的概念. 量子力学中，“力学量用算符来描述，，的含义是多方面的?除了上面已提到的计 算力学量的平均值要用到算符表示外，?量子力学有一个基本假定:一个力学量，如 F,在实验观测中的可能取值，就是相定的算fF的本征值之一，例如F?， F 氉 ? = Fn 氉 n d- 1 8) 氉是与F。相应的本征态.由于可观测量都为实数（F^ =FJ，这就要求F为厄米 算f (J暷+ =F).可以证明，对应于不同本征值的本征态彼此正交 (氉，氉m)=毮nn (? 1 9) 此外，力学量之间的关系也表现在算符之间的关系上?例如，两个力学量A和B 是否可以同时具有确定测值，就取决于相应的算f是否对易.如[A，B]=o,则A与 B可具有共同本征态，在这种共同本征态下，A和B同时具有确定值.反之，若[暷， B]曎0,则一般说来，A与B不能同时具有确定值.可以证明更普遍的不确定度关系 AAAB 曒 2IAI3I (1.1.10) 特例是，用坐标与动量算符的基本对易式（1. 1.4)代人式（1. 1. 10)即可得出不确 定度关系（1. 1. 6)[注]. 人们还发现，一个力学量，如F,对应于它的某一个本征值的本征态可能不止 一个，此之谓简并（degenerAcy).属于同一本征值的诸本征态，彼此不一定就正交. 但总可以使之正交归一化(例如采用Schmidt程序）.本征态的简并往往与算符的 对称性有关(偶然简并除外）.在存在简并的情况下，往往存在'另?外的'力'学'量'，例如 G,它与F对易.此时，可以求F和G的共同本征态（simultAneous eigenstAtes)， 根据G的不同的本征值，就有可能把F的诸简并态确定下来，此时，简并态之间的 正交性就可自动得以保证. 在量子力学中，一个力学量F(不显含t)是否是守恒量，就根据它与体系的 HAmilton量H是否对易来判断
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