[正版书籍]公式之美 文津奖获奖图书 中国好书 当当专享明信片

这是一个众声喧哗，思想沉寂的时代；这是一个娱乐至死，理性匮乏的时代；这是一个信息爆炸，经典缺失的时代。大部分人流连于光怪陆离的娱乐、搞笑、刺激的感官世界，并不珍藏真正的宝藏——曾经无限升级的“超级大脑”。若想在未来与时代共舞，我们需要重塑数理思辨能力和深度思考能力，这也是本书的价值所在。

理论篇

1 1 1=2 ：数学的溯源 17

2 勾股定理：数与形的结合 29

3 费马大定理：困扰人类 358 年 41

4 牛顿 - 莱布尼茨公式：无穷小的秘密 53

5 万有引力：从混沌到光明 65

6 欧拉公式：美的等式 75

7 伽罗瓦理论：无解的方程 87

8 危险的黎曼猜想 99

9 熵增定律：寂灭是宇宙宿命？ 111

10 麦克斯韦方程组：让黑暗消失 127

11 质能方程：开启潘多拉的魔盒 143

12 薛定谔方程：猫与量子世界 159

13 狄拉克方程：反物质的“先知” 169

14 杨 - 米尔斯规范场论：大统一之路 183

应用篇

15 香农公式： 5G 背后的主宰 197

16 布莱克 - 斯科尔斯方程：金融“巫师” 209

17 枪械：里的“技术哲学” 223

18 胡克定律：机械表的心脏 233

19 混沌理论：一只蝴蝶引发的思考 245

20 凯利公式：赌场上的赢家 257

21 贝叶斯定理： AI 如何思考？ 271

22 三体问题：挥之不去的乌云 283

23 椭圆曲线方程：比特币的基石 295

人物索引 308

从此，“熵”成了科学界一个神秘而忧伤的存在。

当它与时间联系在一起时，时间无法“开倒车”（黑洞内部除外）；当它与生命联系在一起时，则如一根尖针戳穿了人类长生不老的美梦；而当它与宇宙联系在一起时，它更似一部剧本，写清了宇宙的前世今生和终走向。 

1867年，熵增定律被用于宇宙，克劳修斯提出了传说中的热寂论。

热寂论在科学界掀起轩然大波，无数科学家急得抓耳挠腮。因为一旦热寂论被证实，人类千百年的奋斗与拼搏就像一场徒劳无功的笑话。

试想，整个宇宙的熵会一直增加，那么，伴随着这一进程，宇宙变化的能力将越来越小，一切机械的、物理的、化学的、生命的等多种多样的运动会逐渐转化为热运动。整个宇宙将会达到热平衡，温度差消失，压力变为均匀，熵值达到，所有的能量都成为不可再进行传递和转化的束缚能，宇宙都终进入停滞状态，陷入一片死寂。

更为悲怆的是，熵在揭露宇宙走向的同时，也让我们看清了自己的渺小。我们不仅不可能造出永动机，而且能量也终有一天会枯竭。

人类像是一步步去看清宇宙真相的孩子，我们从直立行走到点燃普罗米修斯之火，从男耕女织到走进蒸汽时代，从电磁统一到走进信息社会……但是面对熵，却依旧似一个光脚的孩子，手足无措，无力去阻止宇宙的毁灭。一句“熵增是宇宙万事万物自然演进的根本规律”，就可以把我们困于绝望之中。

逆熵而行的“麦克斯韦妖”

面对热寂论对宇宙命运的宣判，很多科学家气急败坏，称熵增定律是堕落的渊薮。美国历史学家亚当斯也道：“这条原理只意味着废

墟的体积不断增大。”杰出的科学家们开始对宇宙热寂理论采取行动，

其中首先提出解决方案的是电磁学家麦克斯韦。 

1871年，麦克斯韦意识到自然界存在着与对抗熵增的能量控制机制，却无法清晰说明这种机制，只能诙谐地设计了一个假想的存在物 ——麦克斯韦妖。此妖有极高智能，虽个头迷你，却可以追踪每个分子的行踪，并能辨别出它们各自的速度。

在麦克斯韦设想的方案中，一个绝热容器被分成相等的两部分 A和 B，如图 9-3所示，由麦克斯韦妖负责看守两部分之间的“暗门”，通过观察分子运动速度，打开或关闭那扇“暗门”，使快分子从 A跑向 B，而慢分子从 B跑向 A。这样，它就在不消耗功的情况下， B的温度提高，A的温度降低，从而与热力学第二定律发生了矛盾。

图 9-3麦克斯韦妖实验图

乍一看来，麦克斯韦妖击败热力学第二定律似乎轻而易举，同时也让烜赫一时的热寂论多了一种反对势力。人人高兴不已，期待着真有这么一个拥有无比敏锐感官的存在物，能让雨滴从地面飞回云里，让宇宙起死回生。

但在纪律森严的物理帝国，麦克斯韦没有根据任何实验来检验他的假说是否成立，心地单纯的麦氏小妖命途多舛。它成功地困扰科学家一百多年，成了科学家诘难热力学第二定律并反对热寂论的著名假想实验。

直到 20世纪 50年代，信息论在热力学中应用后，寄予着人类救世主情怀的麦克斯韦妖才被判定为不可能活着。计算机科学家兰道尔提出的兰道尔原理说明了擦除信息是需要消耗能量的，这表明了不消耗额外能量就能记录并区分信息的麦克斯韦妖并不存在。

1 分子热运动：物体都由分子、原子和离子组成，而一切物质的分子都在不停地运动，且是无规则的运动。分子的热运动与物体的温度有关，物体的温度越高，其分子的运动越快。 

2 玻尔兹曼常数：热力学的一个基本量，记为 k或 kB，数值为 k=1.38× 10-23J/K，玻尔兹曼常数等于理想气体常数 R除以阿伏伽德罗常数（k=R/ NA），其物理意义是单个气体分子的平均动能随热力学温度 T变化的系数。玻尔兹曼常数是把熵（宏观状态参数）与热力学概率（微观物理量）联系起来的重要桥梁。

热能的微观世界：玻尔兹曼熵

借助熵增的概念，克劳修斯熵指明了热力过程的宏观不可逆。

借助麦克斯韦妖，麦克斯韦想在微观层面找到对抗熵增的方法。

在麦克斯韦的世界里，他的小妖是身手敏捷的赛跑者，通过和运动的分子赛跑来对抗熵增。被小妖监测着的分子不停地做着无规则的热运动，但无论快慢，都逃不过小妖的魔掌。这种混乱无序的分子热运动 1，在别人看来是刺耳的魔音，对于玻尔兹曼来说，却是一首气势恢宏的交响乐。

为了解释热力学第二定律的本质原因，玻尔兹曼将统计学思想引入了麦克斯韦的分子运动论中。 1872年，从分子运动体系的非平衡到平衡，玻尔兹曼用概率织就了一个流光溢彩的偏微分方程，用来描述非热力学平衡状态的热力学系统统计行为。在一个有着温度梯度差的流体中，热量从高温区（分子运动剧烈）流向低温区（运动较不剧烈），借助不同动量分子的碰撞，分子的运动剧烈程度渐趋一致。

这个有着普适意义的分子运动公式，为他后来解释热力学第二定律的微观意义埋下契机。 

1877年，玻尔兹曼将宏观的熵与体系的热力学概率联系起来，发现了一个表示系统无序性大小的公式： S ∝ ln Ω。在普朗克引进了比例系数 k后，这个公式进一步华丽蜕变为 Sk lnΩ，被称为玻尔兹

= 曼 -普朗克公式。作为 19世纪理论物理学重要的成果之一，这个公式后来还被刻在了玻尔兹曼的墓碑上，为玻尔兹曼伟大而不朽的一生做了后的总结。

在这个公式中，玻尔兹曼用统计学解释了在微观上什么是熵。 

S是宏观系统熵值，是分子运动或排列混乱程度的衡量尺度，也称为玻尔兹曼熵； k为玻尔兹曼常数 2；Ω是可能的微观态数，服从玻尔兹曼统计分布律， Ω越大，系统就越混乱无序。也就是说，一个宏观系统的熵就是该系统所有可能的微观状态的统计之和。由此，熵的微观意义也就呼之欲出，即系统内分子热运动无序性的一种量度。 

在热力学第二定律中，熵在孤立系统是恒增的，随着熵的无限增加，系统从有序朝着无序发展，如高温→低温、高压→低压……而玻尔兹曼指出，这种无序性的量度与微观态数 Ω有着不可不说的纠葛：微观态数越少，系统越有序，微观态数越多，系统越无序。

不仅如此，这种从高有序度演变为低有序度的发展方向与概率也有着莫大的渊源。

对物理这门艺术有着无上追求的玻尔兹曼，不拘泥于克劳修斯的熵增定律，在前者的基础之上开拓性地提出：孤立系统的熵不会自发减少的原因是熵高的状态出现的概率大。一切系统的自发过程总是从有序向无序演变，这实则也是一种从概率小的状态向概率大的状态的演变。自然界总是朝着概率更大的方向发展，这是热力学第二定律的本质。

用一个熵增，克劳修斯熵指明了热力过程的不可逆，玻尔兹曼熵却用统计语言对热力过程进行了定量评述。在克劳修斯的眼中，熵是一种宏观态，表示物质所含的能量可以做功的潜力，与热效率有关；而在玻尔兹曼眼中，熵幻化成了一种微观态，是能量在空间分布均匀性的量度，能量分布不均匀性越大，能量做功效率越大。

原本泾渭分明的两个世界，一个宏观极大世界，一个微观极小世界，在玻尔兹曼的手中被概率统计这一数学方法统一起来。虽然我们不能像量子力学那样精确描述每个个体的微观运动，但是可以从微观整体上描述宏观系统的许多行为，描绘整个宇宙面貌。

然而，这样一种抛弃宏观现象类推、用数学手段探寻本质的科学哲学思维，与 19世纪盛行的经验主义是相悖的。玻尔兹曼的理论在当时太过超前，直到 20世纪，物理学家们才逐渐认可“创造性原则寓于数学之中”，物理学理论研究才走向高度数学化、抽象化和形式化。

如果把玻尔兹曼的精神世界比作一个孤立系统，按照熵增原理，熵无情地朝着其极大值增长，他的精神世界也因始终被外界孤立，不被当时学界所认可而越来越混乱。充满了悲伤的熵增热寂论，似乎早已喻示了玻尔兹曼的结局。 1906年，他以上吊自杀的方式结束了自己的生命，只留下了刻在他墓碑上的那个公式： S = k.log W。

生命以负熵为食

“落叶永离，覆水难收；死灰欲复燃，艰乎其力；破镜愿重圆，翼也无端；人生易老，返老还童只是幻想。”无论是克劳修斯熵，还是玻尔兹曼熵，似乎都以一种不可逆的增长态势迅猛发展。系统从小概率趋于大概率，从有序趋于无序，在熵达到极大值后归于沉寂。

无数自然现象，无不印证着熵增原理的正确性，哪怕是麦克斯韦妖也无法抵抗宇宙热寂的悲剧命运。

那我们身处的这个世界为什么又生机勃勃呢？生命现象似乎是一个例外。

生命是一种总是维持低熵的奇迹。一个生命，在它活着的时候，总是保持着一种高度有序的状态，各个器官和细胞的运作井井有条，只有死后才会很快化为一堆无序的物质。

在自然科学家和社会科学家看来，生命是高度有序的，智慧也是高度有序的。可在一个熵增的宇宙中，一切本该发展为混乱无序的存在，又为什么会出现生命，进化出智慧？

按照玻尔兹曼熵的微观意义，熵是组成系统的大量微观粒子无序度的量度，系统越无序、越混乱，熵就越大。那这存在于生命中有序化、组织化、复杂化的负熵似乎违背热力学第二定律。

生命真的可以抵抗熵增吗？这个问题，薛定谔有自己的答案。

在《生命是什么》一书中，薛定谔独辟蹊径地把熵与生命结合起来，石破天惊地提出了一个观点：生物体以负熵为食，一个生命有机体天生具有推迟趋向热力学平衡（死亡）的奇妙的能力。从有机生命系统来看，所有的生命都有一个终点，那就是死亡，每个人熵化的状态便是死亡。

因而，人在生命期限内，只有一直保持不稳定的状态，才能对抗熵的增加。对抗熵增也意味着人要让自身变得有序，如何变得有序呢？薛定谔提出：生物体新陈代谢的本质，是使自己成功地摆脱在其存活期内所必然产生的所有熵。人通过周围环境汲取秩序，低级的汲取秩序是求生存，即获取食物，靠吃、喝、呼吸和新陈代谢，这是生理需求；高级的汲取秩序则是增强自身技能，在与他人和社会的交往中获益。但无论是低级汲取还是高级汲取，都是人为吸引一串负熵去抵消生活中产生的熵的增量，这是人类生存的根本：以负熵为食。从这个角度看，人天生就是与熵增相对抗的力量。

结语

人类：为宇宙建立微末秩序

《列子•汤问》中曾记载北山愚公，年且九十，却以残年余力，

叩石垦壤，企图移山。山巍峨庞然，而愚公老弱如浮萍，故河曲智叟笑其不惠。然愚公答曰：“虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子

又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也。而山不加增，何苦而不平？”

根据热力学第二定律，宇宙天然而熵增，它俯瞰众生，侵蚀万物，比起那岿然不动的山更为渺茫，纵使伟大如爱因斯坦，坚韧如霍金也无能为力。放眼历史，喧嚣过后终归无声，热寂才是终归宿。

但人类以负熵为食，即使面对宇宙热寂，也从未胆怯止步。内以新陈代谢消除有机体内产生的熵的增量，外则不断在环境中建立“有序”社会，力图使一切维持在一个稳定而又低熵的水平之上。

纵然微小若星骸尘埃，也要求得自我的生命意义；纵然仅仅拥有数十年光阴，也要为这混乱的宇宙建立秩序。

人类发明数学公式，来描绘浩瀚宇宙和人生百态。世界的繁华秀丽，映衬出符号公式的简洁之美。爱因斯坦的质能方程和杨振宁的规范场，摸索出宇宙游戏的规则；费马大定理和欧拉恒等式，揭示出宇宙变化背后的数学世界；从凯利公式到贝叶斯定理，逐渐完全预测人类行为；蝴蝶效应的洛伦兹方程组和三体问题，则告诉我们数学的界限。

量子学派倾心打造《公式之美》，包含23个普遍、深刻、实用的公式，书写天才们探索自然和社会的辉煌历史。

量子学派：是一个专注于自然科学领域（数理哲）的教育平台，其公众号 “量子学派”发布的自然科学类文章阅读量大都是10万 ，全国十大科普教育平台。平台推出了一系列深受广大读者好评的课程，包括《数学之美》《逻辑之美》《理性之美》《科学之美》等。