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| 书名： | 广义协变导数与平坦时空的协变形式不变性 |
| 出版社： | 清华大学出版社 |
| 出版日期 | 2021 |
| ISBN号： | 9787302587538 |
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| 张量的微分学是不协变的，Ricci借助协变性思想，将其发展成为协变的微分学。然而，协变微分学是非公理化的，本著作通过空间域上的协变形式不变性公设，将Ricci的经典协变微分学，扩展成了公理化的广义协变微分学。类似地，张量的变分学是不协变的，本著作将其发展成协变的变分学，并借助时间域上的协变形式不变性公设，将协变变分学发展成了公理化的广义协变变分学。 |
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| 殷雅俊，清华大学航天航空学院工程力学系教授，博士生导师。1985年毕业于清华大学水电系，获学士学位；1987年于清华大学工程力学系获硕士学位，同年留校任教；1995年获日本政府奖学金，赴日留学，1998于日本广岛大学获博士学位。1993-94年获荷兰政府资助，作为Research Fellow在Delft大学从事合作研究。2000-01年受Japan Key Technology Center的邀请，作为海外研究员在IHI（日本石川岛播磨重工业公司）基础技术研究所从事合作研究工作。先后获得国家级教学优秀成果一等奖1次、二等奖3次。2011年获得北京市教学名师奖。近十五年来主攻以下研究方向并取得进展：（1）生物微纳米力学与几何；（2）生物分形几何与力学；（3）昆虫仿生力学；（4）张量分析与理性力学的公理化。在国内外刊物发表学术论文120篇。 |
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| 本书可以极大地深化读者对协变微分学和协变变分学的理解；通过本书，读者将建立起充满活力的张量分析知识体系。 |
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| 第1章导言 1.1关于平坦时空 1.2关于张量及其协变性 1.3关于张量的协变微分学 1.4博士生的“幼稚”提问 1.5前辈数学力学家的疑惑 1.6协变微分学的局限性 1.7协变形式不变性 1.8从协变微分学到协变变分学 上篇平坦空间中的协变微分学与广义协变微分学 第2章自然标架与自然基矢量的Rici变换 2.1自然坐标下矢径微分中的不变性 2.2逆变基矢量 2.3度量张量分量 2.4基矢量的指标变换 2.5协变基矢量的坐标变换 2.6逆变基矢量的坐标变换 2.7度量张量的杂交分量 2.8统一的Ricci变换 2.9度量张量的两点分量 2.10本章注释 第3章分量与广义分量的Ricci变换 3.1矢量的分解式 3.2矢量分解式中的广义对偶不变性 3.3矢量分解式中的表观形式不变性 3.4矢量的Ricci变换群 3.5张量分解式中的不变性与Ricci变换群 3.6广义分量概念 3.7张量的杂交分量 3.8杂交广义分量 3.9本章注释 广义协变导数与平坦时空的协变形式不变性目录 第4章分量的协变导数 4.1从矢量场的偏导数到矢量分量的协变导数 4.2从张量场的偏导数到张量分量的协变导数 4.3经典协变导数的协变性 4.4度量张量分量的普通偏导数和经典协变导数 4.5分量之积的协变导数定义式 4.6第一类组合模式与经典协变导数的代数结构 4.7第二类组合模式 4.8矢量分量的杂交协变导数 4.9张量杂交分量的协变导数 4.10度量张量的杂交分量的协变导数 4.11张量杂交分量之积的杂交协变导数 4.12经典协变导数中的结构模式 4.13经典协变导数的概念生成模式 4.14再看经典协变导数的协变性 4.15普通偏导数的非协变性 4.16指标概念的补充分类 4.17Christoffel符号的进一步分析 4.18杂交Christoffel符号的进一步分析 4.19再看杂交Christoffel符号下指标的非对称性 4.20不易察觉的陷阱 4.21协变导数的代数结构再分析 4.22本章注释 第5章广义分量的广义协变导数 第6章广义协变导数的微分不变性质 第7章广义协变导数的积分不变性质 第8章高阶广义协变导数 第9章平坦空间中的广义协变微分 第10章协变微分学的结构 下篇平坦空间中的协变变分学和广义协变变分学 第11章Euler述下平坦空间本征几何量的物质导数 第12章Euler描述下分量对时间的狭义协变导数 第13章Euler描述下广义分量对时间的广义协变导数 第14章Euler描述下的广义协变变分 第15章Lagrange描述下空间本征几何量的物质导数 第16章Lagrange描述下分量对时间的狭义协变导数 第17章Lagrange描述下广义分量对时间的广义协变导数 第18章Lagrange描述下的广义协变变分 第19章协变变分学的结构 参考文献
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力学研究者都要研习张量分析。但很少有人知道，张量分析是爱因斯坦给起的“名字”。张量分析的前身是协变微分学。 如果问： 协变微分学中，最漂亮、最深刻的思想是什么？答案见仁见智，作者倾向于“协变性思想”。从Gauss，Riemann，Beltrami，Christoffel，Lipschitz，Ricci到LeviCivita，历经伟大先驱们的千锤百炼，协变性思想逐步走向成熟。然而，协变性思想虽然经典，但仍然存在令人难以察觉的细微局限性。其后果是，当我们应用协变微分学于力学研究时，往往陷入巨量计算的泥沼。那么，如何克服局限性？能否免于海量计算？在本专著中，作者将与大家一起，分享研究心得，探索数学力学的新疆界。 经典协变性思想中细微的局限性，是被博士生的疑问“引爆”的。2012年秋季学期，作者给研究生们开设张量分析课程。课堂上，博士生提出了一个看似非常幼稚的问题： “为什么基矢量没有协变导数？”作者回答： “协变导数是针对张量分量定义的概念。”随后又补了一句： “基矢量的协变导数没有定义。”这样的答复中规中矩，令人满意。然而，作者怎么也没想到，正是这个不起眼的疑问，暴露出了经典协变性思想的缺陷——经典协变微分学，只是张量分量的协变微分学。我们常说“数量”。其实，“数”和“量”可以分开看。“数”有“数系”，即“数的系统”。类似地，“量”有“量系”，即“量的系统”。张量分析的量系构成了庞大集合，而分量仅仅是其中的一个子集。因此，张量分量的协变微分学，就是这个子集中的协变微分学。本专著的主要目标，就是把经典协变性思想，拓展为广义协变性思想，把经典协变微分学，拓展为广义协变微分学。非常幸运，目标达成了。当然，达成目标并非易事。作者深信古人的智慧： “磨刀不误砍柴工”。于是，殚精竭虑，打造了两件趁手“利刃”——一是定义了广义分量概念，意图重塑张量分析的量系； 二是抽象出了协变形式不变性公设，意图将广义协变微分学奠定在公理化思想的基础之上。读者可以体验一下： 握紧了这两把利刃，你就会有势如破竹的信心和勇气。 读者也许会问： “广义协变微分学，能带来什么好处？”好处很多，但这里只说其中一个——让张量分析变得致精致简。作者自己做研究生时，被张量分析的优美和深刻深深地吸引，但其中繁杂的计算令人不胜其烦。请教老师： 如何应对是 好？老师回答： 没招儿，只能死算。顾名思义，“死算”就是“往死里算”之意。如此美丽的理论体系，却建立在“死算”的基础之上，实在有美中不足之感。作者的看法是，基础科学发展，计算虽不可或缺，“死算”当尽力避免。很幸运，广义协变微分学绕开了“死算”的沼泽，完美地实现了“用观念代替计算”。 这里要解释一下。名言“用观念代替计算”的“专利”属于狄利克雷。狄利克雷曾这样称赞Gauss： “他一生努力的目标，都是用观念代替计算”。狄利克雷的看法是，有的数学家通过复杂运算开辟新道路，有的数学家则通过构建观念体系发现新数学。Gauss是后者的杰出代表。知Gauss者，狄利克雷也。听一个顶尖高手评价另一个顶尖高手，总能令人受益匪浅。 专著的后半部分被冠以“协变变分学”。协变变分学与协变微分学，只有一字之差。读者肯定会意识到： 协变变分学肯定是跟着协变微分学“学的”。你猜对了，协变变分学确实是照猫画虎的产物。作者正是把协变微分学作为“临摹”对象，一点一滴地“塑造”出了协变变分学。作者十分敬仰伟大先驱们创造的协变微分学。在“千鉴赏，万揣摩”的过程中，作者发现了一点不足： 张量的协变微分学，主要是“空间”上的协变微分学，“时间”好像被忽视了。 力学研究者一定要熟悉空间。理由很简单： 力学研究物质的运动，而任何运动都发生在特定的空间中，一定要受到空间形式的制约。另一方面，我们所研究的运动，既包括空间上的物质运动，也包括物质空间自身的运动。要刻画物质运动规律，仅有空间是不够的，还必须有时间。 有一天，作者向前辈力学家武际可先生汇报研究进展，费了很大的劲，啰嗦了半天，终于把上述见解阐释清楚了。没想到武先生轻描淡写地讲了一句话： “力学研究空间上的场，但这场函数是带参数的。”听了这一句话，顿开茅塞！当参数取为时间变量时，我啰嗦了半天的内容，瞬间就被一句话概括了。 聪明的读者肯定知道作者下面想说什么了： 空间中，伟大先驱们发展了协变性思想，创作了协变微分学的“画卷”。既然空间和时间形影不离，那么，时间中，有没有类似动人心弦的“画面”呢？凭直觉，作者觉得答案是肯定的。于是，小心翼翼地追寻着先驱们的足迹，模仿着他们在空间中创作的“画作”，描绘出了时间中的“画面”，完成了协变变分学的塑造。虽然有照猫画虎之嫌，但在作者的内心深处，确有向伟大先驱们致敬之意。 作者“胆敢”塑造协变变分学，信心来自哈代的名言。哈代有名言： “数学家与雕塑家和文学家没什么差别，都是造型师。”在哈代看来，数学是可以被塑造的。哈代的观点可以推广到数学力学。作者这样理解： 数学力学规律的内容虽然是客观的，但表达自然规律的形式却是可以塑造的。既然协变变分学是可以“塑造”的，那就必然会揉入主观性的因素（例如个人的好恶）。这就涉及一个根本问题： 塑造出来的协变变分学，是客观实在吗？作者的答案是肯定的。作者期待，读者在阅读了本专著之后，也能给出肯定的答案。 （广义）协变变分学与（广义）协变微分学，思想是完全一致的，理论体系的结构也是完全对称的。读者理解了（广义）协变微分学，就会毫不费力地理解（广义）协变变分学。 （广义）协变性思想最佳的用武之地是卷曲空间。但限于篇幅，本专著只涉及平坦空间，后继专著再论及卷曲空间。 作者期待聆听读者对本专著的评论和指教。
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