醉染图书数学写真集(第4季):直观思考的进阶9787111561682

目录前言几何与代数1达哥拉斯定理ⅩⅢ3达哥拉斯定理ⅩⅣ4达哥拉斯定理ⅩⅤ5达哥拉斯定理ⅩⅥ6达哥拉斯定理的帕普斯推广7达哥拉斯定理的倒数形式8一个类似于达哥拉斯定理的定理9四个类似于达哥拉斯定理的定理10直角梯形的达哥拉斯定理14缺角矩形的达哥拉斯定理15海伦公式16每个三角形有无穷多个内接等边三角形17每个三角形可以被分割成6个等腰三角形18更多的等腰分割19维维安尼定理Ⅱ20维维安尼定理Ⅲ21托勒密定理Ⅰ22托勒密定理Ⅱ平行四边形分割中的相等面积24内部正方形的面积25平行四边形定律26借平行四边形定律得到三角形中线长公式27两个正方形和两个三角形28等边三角形内切圆半径29通过三角形内心的直线30三角形的面积和外接圆的半径31外围三角形之外32和为45°的角33三等分线段Ⅱ34面积和恒定的两个正方形35面积和恒定的四个正方形36圆里和半圆里的正方形38圣诞树问题39“鞋匠之刀”的面积40“盐窖”的面积41直角三角形的面积42正十二边形的面积Ⅱ43四个月牙形的面积之和等于一个正方形的面积44月牙形和正边形5三棱锥的体积46代数式的面积Ⅳ47合比与分比——一个关于比例的定理48配成完全平方Ⅱ49坎迪多恒等式50三角、微积分与解析几何51两角和或差的正弦（通过正弦定理明）53两角差的余弦Ⅰ54两角和的正弦Ⅳ以及两角差的余弦Ⅱ55二倍角公式Ⅳ56欧拉正切半角公式57三倍角的正弦、余弦公式Ⅰ58三倍角的正弦、余弦公式Ⅱ5915°角和75°角的三角函数6018°角及其整倍数的三角函数61莫尔韦德等式Ⅱ62一般三角形中的牛顿公式63三角形的一个正弦恒等式64正余函数之和65正切定理Ⅰ66正切定理Ⅱ67想找x+y=xy的一组解？68secx+tanx的一个恒等式69正切乘积的和70三个正切的和与积71正切的乘积72反正切的和Ⅱ73一个图形，五个反正切恒等式74赫顿和斯特拉尼斯基公式75一个反正切恒等式76欧拉反正切恒等式77函数acost+bsint的极值78面积问题79正弦的导数80正切的导数81一个极限的几何求值Ⅱ82一个数及其倒数的对数83单位双曲线围出的等面积区域84魏尔斯特拉斯替换法Ⅱ85看，无需换元！86自然对数的积分87cos2θ和sec2θ的积分88一个部分分式分解89积分变换90不等式91算术平均-几何平均不等式Ⅶ93算术平均-几何平均不等式Ⅷ（通过三角函数明）94算术平均-平方平均不等式95柯西-施瓦茨不等式Ⅱ（用帕普斯定理*）96柯西-施瓦茨不等式Ⅲ97柯西-施瓦茨不等式Ⅳ98柯西-施瓦茨不等式Ⅴ99关于直角三角形各种半径的不等式100托勒密不等式101代数不等式Ⅰ102代数不等式Ⅱ103正弦在［0，π］上的次可加104正切在［0，π/2）上的超可加105和为1的两个数的不等式106帕多阿不等式107与e有关的斯坦纳问题108辛普森悖论109马尔可夫不等式110整数与整数求和111奇数和Ⅳ113奇数和Ⅴ114奇数的交错和115平方和Ⅹ116平方和Ⅺ117连续平方数的交错和118奇数平方的交错和119阿基米德平方和公式120通过数三角形计算平方和121平方数模3122二阶阶乘的和1把立方数表示为二重求和124把立方数表示为等差数列的和125立方和Ⅷ126连续立方数的差模6余1127斐波那契恒等式Ⅱ128斐波那契地砖129斐波那契梯形130斐波那契三角形和梯形131斐波那契数的平方与立方132每个八边形数是两个平方数的差1332的幂1344的幂的和135通过自相似明n的连续幂的和136每个大于1的四次幂都等于两个不连续三角形数的和137三角形数的和Ⅴ138三角形数的交错和Ⅱ139一串又一串的三角形数140每第三个三角形数的和141隔项奇数和与三角形数的和142三角形数是二项式系数143关于三角形数的容斥公式144分拆三角形数145三角形数恒等式Ⅱ146三角形数的一个和式147带权重的三角形数的和148中心三角形数149雅各布斯塔尔数150无穷级数及议题151几何级数V153几何级数Ⅵ154几何级数Ⅶ（通过直角三角形明）155几何级数Ⅷ156几何级数Ⅸ157几何级数的导数Ⅱ158几何裂项159交错级数Ⅱ160交错级数Ⅲ161交错级数审敛法162交错调和级数Ⅱ163伽利略比值Ⅱ164把筝形裁成扇形165非负整数解与三角形数166分割蛋糕167可重复的无序选择的数目168一道普特南数学竞赛题的无字明169达哥拉斯三元组170达哥拉斯四元组1712的无理172Z×Z是可数集173前n个整数的图论式求和174二项式系数的图论式分解175（0，1）和［0，1］有相同的势176不动点定理177在空间中，四种颜色是不够的178文献索引179英文人名索引184中文人名索引186

前言一个无趣的明可以用一个几何类比作为一个补充，这样定理的优美和正确几乎瞥一眼就能看得到。——马丁•加德纳在美国数学协会1993年出版《数学写真集（季）—无需语言的明》后的一年，威廉•德汉姆在他的《数学领域——一次按字母顺序排列的伟大明问题及知名学者的数学之旅》一书中写道：数学家欣赏的明是灵巧的，但是数学家特别欣赏的明是既灵巧又经济的。这些明仅需很少的论，而即使是这些很少的论也能够直接指向问题的核心，并且一针见血地达到明的目标。这样的明确实是优美的。数学的优美不同于创意的活动。它和莫奈用很少且灵巧的绘画技巧在帆布上描绘出法国的风景有些类似，也和用三行俳句诗去描绘出比其语言能够达到的多得多的意境类似。优美的是艺术而非数学质。一种被数学家们叫作“无字明”的东西就能实现的优美。在“无字明”中富有启发意义的构图立刻传递一种明而不需要任何解释，这种感觉让人感到再优美不过了。自从上述书籍出版后，第二个合集《数学写真集（第2季）—无需语言的明》由美国数学协会于2000年出版，而本书是“无字明”的第三本合集。我必须承认，这本书像前两本一样，必然是不完整的。它并没有包含从第二本合集出版以来的所有的无字明，也没有包括前两本写真集中忽略的全部。作为美国数学协会期刊的读者，我们深知，新的无字明在纸媒上出现得很频繁，而且现在还会在互联网上以一种纸媒更优越的形式出现，它可以动还可以与读者交互。我希望阅读这本合集的读者在发现或者重拾某些数学思想的直观展示的过程中能享受到乐趣。我希望老师们能将书中的内容与学生们分享，我希望每个人都能受到激励和鼓舞，去创造新的无字明。致谢：在此我想表达我对贡献无字明这种数学文化的人们的感谢与感激，他们的名字在本书的84～187页。没有他们，这本书是不可能存在的。感谢苏珊•斯尔斯和她的课堂教学资源团队细心地阅读本书的初稿并提出了许多有益的建议。同时在本书出版过程中也必须感谢美国数学协会的出版人员卡罗尔•巴克斯特、贝弗利•鲁埃迪和萨马莎•韦伯的鼓励、建议以及努力的工作。罗杰B.尼尔森（Roger B.Nelsen）路易克拉克大学俄勒冈州波特兰原书作者注：1.为了形成一个统一的外观，书中所有图形重新描绘过。在一些例子中标题改变了，并且为了更清楚，增加（减少）了一些阴影和符号。在这一过程中的任何错误都是我的责任。2.我们用不同的罗马数字区分同一个定理不同的无字明，而且这种编号次序从《数学写真集（季）—无需语言的明》和《数学写真集（第2季）—无需语言的明》一直沿用。比如，达哥拉斯定理在季中有6个，在第2季中还有几个，这个定理在本书中从达哥拉斯定理开始编号。3.有些无字明是以数学竞赛，比如普特南数学竞赛、哈萨克斯坦数学竞赛中的问题与解的形式给出的。但是，具体用这种解法能得多少分我们不能确定。因为，在数学竞赛中，比方说普特南数学竞赛中，要求选手将明的每个必要步骤都说清楚才能获得满分。