醉染图书金融中的计算方法9787111550785

符号及缩写清单xv
图清单xvii
表清单xxi
前言xxv
致谢xxix
Ⅰ定价与估值1
1随机过程及风险中定3
1.1特征函数3
1.1.1累积分布函数的特征函数4
1.1.2随机变量矩的特征函数5
1.1.3去中心化随机变量的特征函数5
1.1.4Jensen不等式修正的计算6
1.1.5对数鞅特征函数的计算6
1.1.6指数分布7
1.1.7Gamma分布8
1.1.8Lévy过程8
1.1.9标准正态分布8
1.1.10正态分布9
1.2资产定价的随机模型10
1.2.1几何布朗运动—Black-Scholes模型10
1.2.1.1随机微分方程10
1.2.1.2Black-Scholes偏微分方程11
1.2.1.3Log几何布朗运动的特征函数11
1.2.2局部波动率模型—Der模和Kani模型11
1.2.2.1随机微分方程11
1.2.2.2广义Black-Scholes公式12
1.2..特征函数12
1..随机波动率下的几何布朗运动—Heston模型12
1...1Heston随机波动率模型—随机微分方程12
1...2Heston模型—Log资产价格的特征函数12
1.2.4混合模型—随机局部波动率（SLV）模型18
1.2.5带均值回归的几何布朗运动—Ornstein-Uhlenbeck过程19
1.2.5.1Ornstein-Uhlenbeck过程—随机微分方程19
1.2.5.2Vasicek模型20
1.2.6Cox-Ingersoll-Ross模型21
1.2.6.1随机微分方程21
1.2.6.2积分特征函数21
1.2.7VarianceGamma模型21
1.2.7.1随机微分方程22
1.2.7.2特征函数
1.2.8CGMY模型24
1.2.8.1特征函数25
1.2.9正态逆高斯模型25
1.2.9.1特征函数25
1.2.10带随机抵达（VGS）的arianceGamma模型25
1.2.10.1随机微分方程26
1.2.10.2特征函数26
1.3不同测度下的衍生品定价27
1.3.1风险中测度下的资产定价27
1.3.2概率测度变换28
1.3.3远期测度下的资产定价29
1.3.3.1利率下限/上限定价30
1.3.4互换测度下的定价31
1.4衍生品的种类32
习题33
2应用变换技术对衍生品定价35
2.1应用傅里叶变换对衍生品定价35
2.1.1看涨期权定价36
2.1.2看跌期权定价39
2.1.3积分定价的评估41
2.1.3.1数值积分41
2.1.3.2快速傅里叶变换42
2.1.4快速傅里叶变换的实现43
2.1.5阻尼因子α43
2.2分形快速傅里叶变换47
2.2.1分形快速傅里叶变换的构造50
2.2.2分形快速傅里叶变换的实现52
.应用Fourier-Cosine（COS）方法对衍生品定价54
..1COS方法55
..1.1任意函数的余弦级数展式55
..1.2用特征函数表示余弦级数的系数56
..1.3COS期权定价57
..2不同收益的COS期权定价法57
..2.1Vanilla期权的COS定价法58
..2.2数字期权的COS定价法59
..COS方法的截断区域59
..4COS方法的数值计算结果59
..4.1几何布朗运动（GBM）59
..4.2Heston随机波动率模型60
..4.3VarianceGamma（VG）模型61
..4.4CGMY模型62
2.4路径相关期权的Cosine定价法63
2.4.1百慕大期权63
2.4.2离散障碍期权65
2.4.2.1数值计算—COS法与法65
2.5鞍点法66
2.5.1广义Lugannani-Rice近似67
2.5.2期权定价的尾概率描述68
2.5.3期权定价的Lugannani-Rice近似70
2.5.4鞍点近似法的实现71
2.5.5鞍点法的数值结果73
2.5.5.1几何布朗运动（GBM）73
2.5.5.2Heston随机波动率模型73
2.5.5.3VarianceGamma模型74
2.5.5.4CGMY模型75
2.6应用傅里叶变换的平方期权定价76
习题78
3有限差分介绍83
3.1泰勒展式83
3.2有限差分法85
3.2.1显式差分离散化方法87
3.2.1.1显式差分的算法89
3.2.2隐式差分离散化方法89
3.2.2.1隐式差分的算法91
3..Crank-Nicolson离散化方法92
3...1Crank-Nicolson的算法95
3.2.4多步法96
3.2.4.1多步法的算法98
3.3稳定分析99
3.3.1显式差分算法的稳定102
3.3.2隐式差分算法的稳定103
3.3.3Crank-Nicolson算法的稳定103
3.3.4多步法算法的稳定104
3.4有限差分的导数逼近：广泛逼近104
3.5矩阵方程的解法106
3.5.1三对角线矩阵的解法106
3.5.2五对角线矩阵的解法108
习题110
案例分析113
4应用PDEs数值解的衍生品定价115
4.1广义Black-Scholes偏微分方程下的期权价格117
4.1.1显离散化方法117
4.1.2隐离散化方法119
4.1.3Crank-Nicolson离散化方法120
4.2边界条件及临界点121
4.2.1边界条件的实现121
4.2.1.1Dirichlet边界条件122
4.2.1.2Neumann边界条件122
4.2.2确定跳跃条件的实现125
4.3非均匀网格点126
4.3.1坐标变换127
4.3.1.1坐标变换后的Black-Scholes偏微分方程129
4.4维度下降法130
4.5扩散条件下路径依赖的期权定价131
4.5.1百慕大期权131
4.5.2美式期权133
4.5.2.1百慕式近133
4.5.2.2带合成分红过程的Black-Scholes偏微分方程134
4.5..Brennan-Schwartz算法135
4.5.3障碍期权138
4.5.3.1一次敲出障碍期权140
4.5.3.2一次敲入障碍期权141
4.5.3.3双重障碍期权141
4.6正向偏微分方程141
4.6.1Vanilla看涨期权142
4.6.2下降敲出看涨期权143
4.6.3上涨敲出看涨期权143
4.7高维有限差分法146
4.7.1Heston随机波动率模型146
4.7.2Heston偏微分方程下的期权定价148
4.7.2.1边界条件的实现153
4.7.3交替方向隐式法（ADI）的算法156
4.7.3.1Heston偏微分方程Craig-Sneyd算法的导数158
4.7.4Heston偏微分方程161
4.7.5数值结果及结论161
习题164
案例分析168
5应用PEs数值解的衍生品定价171
5.1PEs的数值解（一个广义示例）171
5.1.1PE的导数172
5.1.2离散化176
5.1.3积分项的估计178
5.1.4微分方程180
5.1.4.1Neunann边界条件的实现183
5.2美式期权184
5.2.1Heaviside项—合成分红过程187
5.2.2数值实验188
5.3Lévy过程的PE解190
5.4正向PEs191
5.4.1美式期权191
5.4.2下降敲出和上涨敲出看涨期权194
5.5g1和g2的计算198
习题199
案例分析200
6衍生品定价的模拟方法203
6.1随机数的生成205
6.1.1标准均匀分布205
6.2各类分布样本206
6.2.1逆变换法206
6.2.2接受-拒绝法208
6.2.2.1应用接受-拒绝法生成标准正态分布随机数211
6.2.2.2应用接受-拒绝法生成泊松分布随机数212
6.2..应用接受-拒绝法生成Gamma分布随机数213
6.2.2.4应用接受-拒绝法生成Beta分布随机数213
6..单变量标准正态分布随机数214
6...1有理近似214
6...2Box-Muller方法216
6...Marsaglia极方法217
6.2.4多变量正态随机数218
6.2.5Cholesky分解219
6.2.5.1有特定相关的多变量分布模拟220
6.3依赖模型222
6.3.1满秩高斯Copula模型222
6.3.2带高斯分布的VarianceGamma表示222
6.3.3独立Lévy过程的混合线模型222
6.4布朗桥2
6.5积分224
6.5.1拟-方法227
6.5.2拉丁超立方体抽样法228
6.6随机微分方程的数值积分228
6.6.1Euler算法229
6.6.2Milstein算法0
6.6.3Runge-Kutta算法0
6.7不同模型下的SDEs模拟1
6.7.1几何布朗运动1
6.7.2Ornstein-Uhlenbeck过程2
6.7.3CIR过程2
6.7.4Heston随机波动率模型2
6.7.4.1完全截断算法
6.7.5VarianceGamma过程4
6.7.6带随机抵达（VGS）的arianceGamma过程
6.8输出/模拟分析240
6.9方差缩减技术241
6.9.1控制变量法241
6.9.2对偶变量法243
6.9.3条件法244
6.9.3.1条件法的算法245
6.9.4重要抽样法247
6.9.4.1应用重要抽样进行方差缩减248
6.9.5分层抽样法249
6.9.5.1观察与发现251
6.9.5.2分层抽样法的算法251
6.9.6一般随机数253
习题254
Ⅱ校准与估计259
7模型校准261
7.1校验方法263
7.1.1一般方法264
7.1.2加权二乘法264
7.1.3正则化校验法264
7.2单一资产模型的校准265
7.2.1Black-Scholes模型265
7.2.2局部波动率模型266
7.2.2.1欧式期权的正向偏微分方程267
7.2.2.2局部波动率面的构造268
7..不变方差弹（CEV）模型271
7.2.4Heston随机波动率模型272
7.2.5混合模型—随机局部波动率（SLV）模型275
7.2.6VarianceGamma模型276
6.2.7CGMY模型277
7.2.8带随机抵达的VarianceGamma模型277
7.2.9Lévy过程281
7.3利率模型282
7.3.1短期利率模型285
7.3.1.1Vasicek模型285
7.3.1.2Vasicek模型下的价格互换287
7.3.1.3替代的Vasicek模型校准288
7.3.1.4CIR模型289
7.3.1.5CIR模型下的价格互换292
7.3.1.6替代的CIR模型校准293
7.3.1.7Ho-Lee模型294
7.3.1.8Hull-White（扩展的Vasicek）模型297
7.3.2多因子短期利率模型297
7.3.2.1多因子Vasicek模型298
7.3.2.2多因子CIR模型298
7.3..CIR双因子模型校准299
7.3.2.4CIR双因子模型下的价格互换299
7.3.2.5替代的CIR双因子模型校准300
7.3.2.6发现302
7.3.3仿期限结构模型303
7.3.4远期利率模型（HJM）304
7.3.4.1HJM模型的时间离散306
7.3.4.2因子结构选择307
7.3.5LIBOR市场模型307
7.4信用衍生品模型308
7.5模型风险309
7.6优化及优化方法312
7.6.1网格搜索313
7.6.2Nelder-Mead单纯形法314
7.6.3遗传算法315
7.6.4Davidson，Fletcher及Powell（DFP）方法316
7.6.5Powell法316
7.6.6对线约束的输入应用去约束优化317
7.6.7有限制条件问题的信任域方法318
7.6.8期望优选化（EM）算法319
7.7折现率曲线的构造319
7.7.1LIBOR收益率320
7.7.1.1单一利率的折现因子322
7.7.1.2远期利率的折现因子322
7.7.1.3互换利率的折现因子322
7.7.2收益率曲线的构造3
7.7.2.1曲线短端的构造3
7.7.2.2曲线长端的构造325
7.7.3折现率曲线构造的多项式样条方法326
7.7.3.1Hermite差值法327
7.7.3.2自然三次样条插值法328
7.7.3.3张力样条插值法328
7.8期权费的套利限制331

Ali Hirsa，哥伦比亚大学和纽约大学柯朗数学研究所教授，作者在教授课程时积累了丰富的经验，同时作者在银行和对冲的数量金融领域中也工作多年，有着丰富研究、交易经验。

前言 “无论意欲取得任何进展，都始终有必要引入近似技术，也就是数值计算。因此，对复杂函数方程的数值计算方法再一次成为我努力研究的一个主要方向。事实上我对数值分析从未产生过这样的兴趣，同我这一代大多数的数学家一样，我也曾认为这是一项功利的研究。对数值解的研究被认为是无能数学家的救命稻草。然而事实是，一旦从事这一领域的研究，就很快意识到得出数值解比建立一般的存在和定理会要求更强的能力和更深刻的理解。获得一个有效的算法比明一个定理要更有难度。任何科学理论的目标都是具体的数字推导。”这是节取自理查德·贝尔曼的著作《飓风之眼》185页的一段话。考虑到量化金融的发展已经离不开算（值）技术以及近年来其在金融领域改革中的影响，引用这段话作为前言还是十分合适的。 在对大多数应用问题和物理现象的解释中，我们总是试图寻找一个接近真实解的近似值。因此，掌握一些计算方法或数值算法是必需的。在量化金融中，除了少数情况存在解析或半解析的解以外，我们通常使用近似值代替真实解。随着如今越来越复杂的金融产品的诞生，定量分析师、金融和金融行业中的从业者特别需要稳健的数值解。计算金融研究领域已经在迅展，并且越来越复杂的金融产品和市场的发展也将会对数值方法提出更高的需求。 本书是基于我在哥伦比亚大学和纽约大学柯朗数学研究所使用的讲稿完善而成的。书中主题的选择受到了我在教学过程中学生和市场需求的影响。我的同事兼朋友Rama Cont，建议我将这些笔记整合为一部教科书并出版。 我们的目的是编写一本有关金融中的数值计算方法的教科书，介绍金融衍生品合约和相关产品的定价方法，同时介绍一些算法、模拟、模型校准和各类实用的参数估计的例子。本书是针对金融工程或金融数学方向或第二年级、量化分析人员、研究人员、模型实现技术专家和对这一领域感兴趣的读者编写的，宗旨是保持本书的自包含和观点的独立。 总体来说，我们不会在理论方面进行太多的正式讲述。本书的目的不在于从细节上研究随机微积分或者鞅定价，因为它们不是理解书中内容的先决条件。虽然在某些情况下有些理论是不可避免的，但我将尽可能给出足够的解释，以保读者在不需要深入了解其背后理论或派生理论的前提下可以继续阅读。 本书由两部分组成。部分描述了各种衍生品合约定价的方技和各种模型及其过程的估计。在第二部分中，我们着重于模型校准、校准步骤、滤波和参数估计等方面。 章回顾了一些基本概念，主要涉及随机过程的特征函数。这一章展示了如何应用特征函数生成结果分布的矩以及如何派生出不同过程的特征函数。同时，书中还回顾了各类标准分布的特征函数。在这一章我提了一个独立的列表，其中包括一些从业者在衍生品定价模型中常用的随机过程，但这还不是一份全面的列表，它并不能覆盖在实际中使用到的每一个随机过程。在描述这些过程时，我们尽可能提供详细的数学描述，包括每一个分布的特征函数、存在的封闭形式以及存在封闭式的随机微分方程。，回顾了风险中定及测度变换。与标的资产的随机模型相结合后，这些理论构成了金融衍生品定价算法的基础。 第2~6章涵盖了多种衍生品合约定价的计算，包括(a)转换技术，(b)有限差分法求解偏微分方程和部分可积微分方程和(c)模拟。第2章讲述了一系列变换技术，其中包括快速傅里叶变换技术，分形快速傅里叶变换，Fourier-cosine(COS)方法和鞍点。讨了每种方法的利弊，并提供大量的交叉比较。第3章介绍了如何使用有限差分方法对偏微分方程进行数值求解，其重点是用几种常用的有限差分技术求解偏微分方程，即显式的、隐式的、Crank-Nicolson和多步法等几种方法，并讨论了这些方法的稳定以及偏微分方程离散化后生成的刚矩阵的不同结构，并且提供了解决线方程组的方法。同时，本章提供了一个通过有限差分进行导数逼近的通用方法。第4章利用第3章中介绍的有限差分法对Vanilla及奇异衍生品进行定价。其中，这类衍生品的价格是可以被诸如Black-Scholes模型、一维局部波动率模型、二维Heston随机波动率模型等偏微分方程模型表示的。讲述如何实现边界条件和运动边界，建立非均匀网格点和协调转换以及如何处理带跳的条件。第5章涵盖了通过有限差分技术对部分可积微分方程进行数值求解来对各类衍生品进行定价。介绍了出现在纯跳框架下的PE，例如方差伽马(VG)模型和CGMY模型。 对于闭合式、无特征函数、同时到期结算结构相当复杂的衍生品合约，例如非Markov过程，或者高维度的过程或模型，则利用模拟对其进行定价和估值。第6章讲述了模拟方。讨了不同的抽样方法和不同分布的抽样方法，同时也会涉及一部分积分和随机微分方程数值积分的内容。由于模拟时产生的方差会对结果的造成影响，这一章也讲述了一些方差缩减技术来解决这一主要缺点，同时还深入研究了对一些纯跳过程的模拟。 本书的第二部分着重分析了实际市场中衍生品定价和估值的基本步骤。第7章讨论了如何通过调整模型参数