[醉染正版]高等数学(经、管类)/张昕 倪科社

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ISBN编码： 9787030575654 书  名： 高等数学（经、管类） 定  价： 59 出版单位： 科学出版社 出版时间： 2018年07月 著  者： 张昕,倪科社 编  者： 无 译  者： 页  数： 462 开  本： 16

本书共10章，包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理及其应用、不定积分、定积分及其应用、空间解析几何初步、多元函数微分学、二重积分、无穷级数、微分方程与差分方程等内容。书后附有积分表、几种常用的曲线和各章节习题及总习题的参考答案。本书内容由浅入深，叙述详细，主次分明，通俗易懂，便于教学，也便于自学；例题选取难易适度，有助于加深对基本概念的理解和计算方法的掌握；强调数学方法与其他学科，尤其是经济学的相互联系，增强应用数学方法的意识，为后继课程的学习打好数学基础。

目录
前言
引言 1
0.1微积分学思想 1
0.2预备知识 1
0.2.1集合及其运算 1
0.2.2区间和邻域 3
0.2.3实数与实数的绝对值 4
0.2.4逻辑推理及符号 5
第1章 函数与极限 6
1.1函数 6
1.1.1函数的定义 6
1.1.2函数的几种特性 8
1.1.3分段函数 10
1.1.4反函数与复合函数 11
1.1.5初等函数 12
习题1-1 13
1.2数列的极限 15
1.2.1数列极限的定义 15
1.2.2收敛数列的性质 18
习题1-2 20
1.3函数的极限 20
1.3.1函数极限的定义 20
1.3.2函数极限的性质 26
习题1-3 27
1.4无穷小量与无穷大量 27
1.4.1无穷小量 27
1.4.2无穷大量 28
习题1-4 30
1.5极限的运算法则与性质 30
1.5.1数列极限的四则运算 30
1.5.2函数极限的四则运算法则 31
1.5.3无穷小量的运算法则 34
1.5.4复合函数的极限 35
习题1-5 35
1.6函数极限存在准则两个重要极限公式 36
习题1-6 41
1.7无穷小的比较 42
习题1-7 45
1.8函数的连续性与间断点 45
1.8.1函数的连续性 45
1.8.2函数的间断点 48
习题1-8 49
1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 50
1.9.1连续函数的和、差、积、商的连续性 50
1.9.2反函数和复合函数的连续性 50
1.9.3初等函数的连续性 52
习题1-9 53
1.10闭区间上连续函数的性质 54
习题1-10 57
1.11简单经济数学模型的建立与案例分析 58
1.11.1成本函数 58
1.11.2收益函数 59
1.11.3利润函数 59
1.11.4需求函数 59
1.11.5供给函数 60
1.11.6市场均衡 60
习题1-11 62
总习题一（A） 63
总习题一（B） 65
第2章 导数与微分 68
2.1导数概念 68
2.1.1变化率问题 68
2.1.2导数的概念 70
习题2-1 75
2.2导数的运算法则及导数基本公式 76
2.2.1几个基本初等函数的导数 76
2.2.2函数的和、差、积、商的求导法则 77
2.2.3反函数的导数 80
2.2.4复合函数的求导法则 81
习题2-2 83
2.3隐函数及由参数方程确定的函数的导数 84
2.3.1隐函数的导数 84
2.3.2由参数方程确定的函数的求导法则 87
2.3.3基本导数公式与求导法则 88
习题2-3 89
2.4高阶导数 90
2.4.1高阶导数的概念 90
2.4.2几个常见函数的n阶导数公式 92
2.4.3高阶导数的运算法则 94
习题2-4 95
2.5函数的微分 96
2.5.1微分概念 96
2.5.2微分的几何意义 98
2.5.3微分的计算 98
2.5.4微分在近似计算中的应用 100
习题2-5 101
总习题二（A） 102
总习题二（B） 103
第3章 微分中值定理及其应用 105
3.1微分中值定理 105
3.1.1罗尔中值定理 105
3.1.2拉格朗日中值定理 107
3.1.3柯西中值定理 109
习题3-1 110
3.2洛必达法则 110
习题3-2 114
3.3泰勒公式 115
习题3-3 119
3.4函数的单调性及其判定法 120
习题3-4 122
3.5函数的极值与最值 122
3.5.1函数的极值 122
3.5.2函数的**值最小值 126
习题3-5 128
3.6曲线的凹凸性、拐点、渐近线及函数图形的描绘 129
3.6.1曲线的凹凸性与拐点 129
3.6.2曲线的渐近线 131
3.6.3函数图形的描绘 132
习题3-6 133
3.7经济数学模型与案例分析（边际分析与弹性分析） 134
习题3-7 136
总习题三（A） 137
总习题三（B） 138
第4章 不定积分 141
4.1不定积分的概念与性质 141
4.1.1原函数与不定积分的概念 141
4.1.2基本积分公式 143
4.1.3不定积分的性质 144
习题4-1 146
4.2换元积分法 147
4.2.1第一类换元积分法 147
4.2.2第二类换元积分法 153
习题4-2 157
4.3分部积分法 159
习题4-3 162
4.4若干特殊类型函数的积分 163
4.4.1有理函数的积分 163
4.4.2三角函数有理式的积分 165
4.4.3简单无理函数的积分 167
习题4-4 168
4.5积分表的使用 168
习题4-5 170
总习题四（A） 170
总习题四（B） 172
第5章 定积分及其应用 174
5.1定积分的概念与性质 174
5.1.1定积分问题的实例 174
5.1.2定积分的定义 176
5.1.3定积分的几何意义 178
5.1.4定积分的性质 180
习题5-1 183
5.2微积分基本公式 184
5.2.1总成本函数与边际成本函数之间的联系 184
5.2.2积分上限函数及其性质 185
5.2.3牛顿-莱布尼茨公式 188
习题5-2 190
5.3定积分的换元积分法和分部积分法 191
5.3.1换元积分法 192
5.3.2分部积分法 195
习题5-3 198
5.4定积分的几何应用 199
5.4.1定积分的元素法 199
5.4.2平面图形的面积 201
5.4.3体积 207
习题5-4 211
5.5广义积分 212
5.5.1无穷限的广义积分 212
5.5.2无界函数的广义积分 214
5.5.3Г函数 217
习题5-5 219
5.6经济数学模型与案例分析 219
5.6.1由边际函数求总函数 219
5.6.2复利问题 220
5.6.3自然资源消费问题 221
5.6.4产品销售问题 222
习题5-6 223
总习题五（A） 223
总习题五（B） 225
第6章 空间解析几何初步 226
6.1空间直角坐标系 226
6.1.1空间直角坐标系 226
6.1.2空间两点间的距离 227
习题6-1 228
6.2向量代数 228
6.2.1向量的概念 228
6.2.2向量的运算 229
6.2.3向量的坐标 231
6.2.4向量的数量积和向量的方向余弦 234
习题6-2 237
6.3平面及其方程 237
6.3.1平面的点法式方程 238
6.3.2平面的一般方程 239
6.3.3两平面的夹角 240
习题6-3 242
6.4空间直线及其方程 242
6.4.1空间直线的一般方程 242
6.4.2空间直线的对称式方程和参数方程 243
6.4.3两直线的夹角 245
6.4.4直线与平面的夹角 246
6.4.5平面束 246
习题6-4 247
6.5曲面及其方程简介 248
6.5.1曲面方程的概念 248
6.5.2二次曲面 251
习题6-5 254
总习题六（A） 254
总习题六（B） 256
第7章 多元函数微分学 258
7.1多元函数的基本概念 258
7.1.1区域 258
7.1.2多元函数的概念 260
7.1.3多元函数的极限 261
7.1.4多元函数的连续性 263
习题7-1 264
7.2偏导数 265
7.2.1一阶偏导数 265
7.2.2高阶偏导数 269
习题7-2 271
7.3全微分 272
7.3.1全微分 272
7.3.2全微分在近似计算中的应用 276
习题7-3 277
7.4多元复合函数的求导法则 277
习题7-4 283
7.5隐函数的求导法则 283
习题7-5 287
7.6多元函数的极值及其求法 288
7.6.1多元函数的极值与**值、最小值 288
7.6.2条件极值与拉格朗日乘数法 293
习题7-6 296
7.7经济数学模型与案例分析 297
习题7-7 302
总习题七（A） 303
总习题七（B） 304
第8章 二重积分 307
8.1二重积分的概念与性质 307
8.1.1二重积分的概念 307
8.1.2二重积分的性质 310
习题8-1 311
8.2二重积分的计算 312
8.2.1利用直角坐标计算二重积分 312
8.2.2利用极坐标计算二重积分 318
习题8-2 322
总习题八（A） 324
总习题八（B） 325
第9章 无穷级数 328
9.1常数项级数的概念与性质 328
9.1.1常数项级数的概念 328
9.1.2无穷级数的性质 331
习题9-1 334
9.2正项级数与交错级数 334
习题9-2 338
9.3一般项级数及其审敛法 339
9.3.1交错级数及其审敛法 339
9.3.2绝对收敛与条件收敛 341
习题9-3 342
9.4幂级数 343
9.4.1函数项级数的概念 343
9.4.2幂级数及其收敛区间 344
9.4.3幂级数的运算 347
习题9-4 348
9.5函数展开成幂级数 349
9.5.1泰勒级数 349
9.5.2函数展开成幂级数 351
9.5.3幂级数的应用 354
习题9-5 357
9.6经济数学模型与案例分析 357
总习题九（A） 358
总习题九（B） 359
第10章 微分方程与差分方程 361
10.1微分方程的基本概念 361
习题10-1 364
10.2可分离变量的微分方程与齐次方程 364
10.2.1可分离变量的微分方程 365
10.2.2齐次方程 368
习题10-2 370
10.3一阶线性微分方程 371
10.3.1线性方程 371
10.3.2伯努利方程 375
习题10-3 376
10.4可降阶的高阶微分方程 377
10.4.1 型的微分方程 377
10.4.2 型的微分方程 378
10.4.3 型的微分方程 379
习题10-4 380
10.5二阶常系数线性微分方程 381
10.5.1二阶常系数齐次线性微分方程 381
10.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程 384
习题10-5 390
10.6差分方程的基本概念 390
10.6.1差分的概念及其性质 391
10.6.2差分方程的基本概念 392
习题10-6 392
10.7一阶常系数线性差分方程 393
10.7.1齐次差分方程的通解 393
10.7.2一阶常系数线性差分方程的解法 394
习题10-7 396
10.8二阶常系数线性差分方程 396
10.8.1二阶常系数齐次差分方程 396
10.8.2二阶常系数非齐次差分方程 398
习题10-8 400
10.9微分方程与差分方程的应用举例 400
习题10-9 405
总习题十（A） 406
总习题十（B） 407
参考文献 409
附录Ⅰ积分表 410
附录Ⅱ几种常用的曲线 416
参考答案 419

引言
0.1微积分学思想
　　经济数学是研究经济领域内数量关系与优化规律的科学，主要包括微分学和积分学，简称微积分。微积分研究的对象是函数，主要是初等函数，其研究的方法是极限方法。
　　从古希腊开始，微积分的萌芽、产生、发展经历了两千多年的探索之路。我国古代的《庄子·天下篇》中就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的极限思想。公元263年，刘徽提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周，这正是极限思想的成功运用。
　　微分是通过对曲线作切线问题和求函数的极值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于1629年费马（Fermat）陈述的概念，他给出了如何确定极大值和极小值的方法，其后英国剑桥大学的巴罗（Barrow）教授给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。
　　积分是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）在《抛物线求积法》中用穷竭法求抛物线弓形的面积是积分学的真正萌芽。
　　牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）在总结前人的基础上，从不同的背景（运动的和几何的）出发，经过各自独立的研究，建立了微分法和积分法，并洞悉了二者之间的联系，因此，将他们两人并列为微积分的创始人，并且莱布尼茨创造的微分和积分符号一直沿用至今。
　　微积分的精髓在于：在变化中考察各量之间的关系。可以说，没有变化就没有微积分。
　　微积分的产生是数学上的伟大创造，它从生产实践和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响它们的发展。
0.2预备知识
0.2.1集合及其运算
　　集合是数学中的一个基本概念，例如，一个班的全体学生构成一个集合，全体整数构成一个集合，等等。一般地，具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合（简称集）。组成这个集合的事物称为这个集合的元素。
　　集合通常用大写的拉丁字母表示，其元素则用小写的拉丁字母表示。如果是集合的元素，就称属于,记作，否则，就称不属于，记作。含有有限个元素的集合称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
　　对于数集，习惯上把全体自然数的集合记作；全体整数的集合记作；全体有理数的集合记作；全体实数的集合记作。我们有时在表示数集的字母的右上角标上“*”来表示该数集内排除0的集，标上“+”来表示该数集内排除0与负数的集。例如，全体正整数的集合记作，即。
　　如果集合的元素都是集合的元素，则称是的子集，记作。如果集合与集合互为子集，则称集合与集合相等，记作即且。如果则称集合是集合的真子集，记作。不含任何元素的集合称为空集，记作。规定空集是任何集合的子集。
　　集合的基本运算有交、并、差等。设为两个集合，由所有既属于又属于的元素组成的集合，称为与的交集（简称交），记作，即由所有属于或者属于的元素组成的集合，称为与的并集（简称并），记作，即由所有属于而不属于的元素组成的集合，称为与的差集（简称差），记作 即有时我们所研究的集合、都是集合的子集，此时，称集合为全集或基本集，称为的余集或补集，记作。
　　设为任意三个集合，则集合的交、并、余运算满足下列运算规律：（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）对偶律
0.2.2区间和邻域
　　设且。我们称数集为开区间，记作数集称为闭区间，记作类似地，数集，称为半开半闭区间，分别记作和。与称为区间的端点，当时，称为左端点，称为右端点。以上这几类区间统称为有限区间。
　　除了上述这些有限区间以外，还有各种无限区间。引进符号（读作无穷大）、（读作正无穷大）及（读作负无穷大）， 则可类似地表示无限区间。例如，集合可记为，集合可记为，全体实数的集合也可记为。有限区间和无限区间统称为区间。
　　闭区间、开区间及无限区间和在数轴上表示分别如图0-1所示。图0-1
　　设满足绝对值不等式的全体实数的集合称为点的邻域，记作（图0-2），或简单地写作。即图0-2点的空心邻域定义为它也可简单地记作注意，与的差别在于：不包含点a。
　　此外，我们还常用到以下几种邻域：
　　与去除点后，分别为点的空心左、右邻域，简记为。
0.2.3实数与实数的绝对值
　　在中学数学课程中，我们知道实数由有理数和无理数两部分组成。有理数可用分数形式（为整数）表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示。例如，可表示为，等等。无限十进不循环小数则称为无理数。例如，等为无理数。有理数和无理数统称为实数。
　　实数与数轴上的点是一一对应的， 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上每一个点又都表示一个实数。
　　如果一实数为，我们用表示的相反数，当表示一个正实数时，就表示一个负实数；又当表示一个负实数时，则就表示一个正实数。与互为相反数的相反数为。
　　实数的绝对值定义为
　　例如从数轴上看数的绝对值就是点到原点的距离。实数的绝对值有如下一些性质：
　　解绝对值不等式最后归结为以下两种情形：
　　（1）当时，其解集为空集；当时，解集为
　　（2）当时，其解集为全体实数；当时，解集为
0.2.4逻辑推理及符号
　　若命题成立必然得到命题成立，则称命题为命题的充分条件，或称命题为命题的必要条件。
　　若命题成立必然得到命题成立且命题成立必然得到命题成立，则称命题为命题的充要条件，或称命题为命题的充要条件，即命题等价于命题 。
　　在数学的逻辑推理中，为了书写方便，我们常采用下列逻辑符号。
　　符号表示“任给”或“每一个”；符号表示“存在”或“找到”；符号表示命题（或条件）与等价，或命题（或条件）与互为充要条件。
　　第1章　函数与极限
　　微积分学是以函数为研究对象的一门科学。所谓函数关系就是变量之间的依赖关系。极限方法是研究函数的一种基本方法，它是学习微分学、积分学的基础。本章将介绍函数、函数极限和函数的连续性等基本概念及其性质。
1.1函数
1.1.1函数的定义
　　我们在研究某一实际问题或自然现象的过程中，往往发现所涉及的变量并不是独立变化的，变量之间总会存在着某种依存关系。下面我们考察两个例子。
　　例1.1圆的面积随半径的改变而变化，它们的关系为
　　例1.2自由落体运动中，下落的距离和时间都是变量，它们有如下关系：
　　从以上的例子我们看到，它们所描述的问题虽各不相同，但却有共同的特征：
　　（1）每个问题中都有两个变量，它们之间不是彼此孤立的，而是相互联系，相互制约的；
　　（2）当一个变量在它的变化范围中任意取定一值时，另一个变量按一定法则就有一个确定的值与这一事先取定的值相对应。
　　具有这两个特征的变量之间的依存关系，我们称为函数关系。
　　定义1.1设两个变量，当变量在某给定的数集中任意取一个值时，变量按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作其中称为自变量，称为因变量，数集 称为这个函数的定义域。
　　当自变量取值时对应的变量的数值称为函数在点处的函数值，函数值全体所构成的集合称为函数的值域记作或，即。

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