[醉染正版]高等数学(下册)(理工类)吴志勤著

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高等数学（下册）（理工类）
	曾用价	39.00
	出版社	科学出版社
	版次	01
	出版时间	2016年08月
	开本	16开
	作者	吴志勤 著
	装帧	平装
	页数	240
	字数	355
	ISBN编码	9787030495594

本书是普通高等教育“十三五”规划教材，涵盖了***指定的大学本科高等数学教学基本要求的内容，全书分为上、下两册，共 15 个模块.上册主要内容为函数、极限、导数与微分、微分中值定理及导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用等 7 个模块；下册内容为微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微积分、无穷级数共 8 个模块.本书内容深入浅出，结构严谨，体系新颖，例题典型，注重应用，每个模块都配有不同类型的习题，重视对学生应用数学知识解决实际问题能力的培养.

目录
丛书序言
前言
模块 8 微分方程 1
8.1 微分方程的基本概念 1
8.1.1 常微分方程和偏微分方程 2
8.1.2 线性和非线性方程 3
8.1.3 解和隐式解 3
8.1.4 通解和特解 4
8.1.5 积分曲线 4
习题 8.1 4
8.2 一阶微分方程 4
8.2.1 变量分离方程 4
8.2.2 可化为变量分离方程的类型 6
8.2.3 一阶线性微分方程 8
*8.2.4 伯努利方程 10
习题 8.2 11
8.3 可降阶的高阶微分方程 12
8.3.1 y(n) = f(x) 型的微分方程 12
8.3.2 y00 = f(x; y0) 型的微分方程 12
8.3.3 y00 = f(y; y0) 型的微分方程 13
习题 8.3 14
8.4 二阶常系数线性微分方程 14
8.4.1 二阶线性齐次微分方程 14
8.4.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 18
习题 8.4 21
总习题 8 22
模块 9 空间解析几何与向量代数 25
9.1 向量及其线性运算 25
9.1.1 向量概念 25
9.1.2 向量的线性运算 26
9.1.3 空间直角坐标系 28
9.1.4 点和向量的坐标 28
9.1.5 利用坐标作向量的线性运算 29
9.1.6 向量的模与两点间的距离公式 30
习题 9.1 33
9.2 向量的数量积和向量积 33
9.2.1 两向量的数量积 33
9.2.2 两向量的向量积 36
习题 9.2 38
9.3 平面方程与空间直线方程 38
9.3.1 平面方程 38
9.3.2 空间直线方程 41
9.3.3 位置关系 43
习题 9.3 47
9.4 曲面及其方程 48
9.4.1 曲面方程的概念 48
9.4.2 几类特殊曲面 49
习题 9.4 54
9.5 空间曲线及其方程 54
9.5.1 空间曲线的一般方程 54
9.5.2 空间曲线的参数方程 55
9.5.3 空间曲线在坐标面上的投影 56
习题 9.5 57
总习题 9 58
模块 10 多元函数微分法及其应用 61
10.1 多元函数的基本概念 61
10.1.1 平面点集, n 维空间 61
10.1.2 多元函数概念 63
10.1.3 多元函数的极限 64
10.1.4 多元函数的连续性 65
习题 10.1 66
10.2 偏导数 67
10.2.1 偏导数的定义及其计算法 67
10.2.2 高阶偏导数 69
习题 10.2 71
10.3 全微分及其应用 71
10.3.1 全微分的定义 71
10.3.2 全微分在近似计算中的应用 74
习题 10.3 74
10.4 多元复合函数的求导法则 75
10.4.1 一元函数与多元函数复合 75
10.4.2 多元函数与多元函数复合 75
10.4.3 多元函数全微分形式不变性 77
习题 10.4 78
10.5 隐函数存在性定理及求导法则 78
10.5.1 一个方程的情形 78
10.5.2 方程组的情形 80
习题 10.5 82
10.6 多元函数微分学的几何应用 82
10.6.1 空间曲线的切线与法平面 82
10.6.2 曲面的切平面与法线 84
习题 10.6 85
10.7 方向导数与梯度 85
10.7.1 方向导数 85
10.7.2 梯度 88
习题 10.7 89
10.8 多元函数的极值及其求法 89
10.8.1 多元函数的极值 89
10.8.2 多元函数的*大值、*小值 92
10.8.3 条件极值、拉格朗日乘数法 92
习题 10.8 94
总习题 10 94
模块 11 重积分 96
11.1 二重积分的概念与性质 96
11.1.1 问题的提出 96
11.1.2 二重积分的概念 98
11.1.3 二重积分的性质 99
习题 11.1 101
11.2 二重积分的计算法 101
11.2.1 利用直角坐标系计算二重积分 101
11.2.2 利用极坐标系计算二重积分 109
习题 11.2 114
11.3 三重积分的概念和计算方法 116
11.3.1 三重积分的概念 116
11.3.2 利用直角坐标计算三重积分 117
11.3.3 利用柱面坐标计算三重积分 119
11.3.4 利用球面坐标计算三重积分 120
习题 11.3 122
11.4 重积分的应用 123
11.4.1 曲面的面积 123
11.4.2 质心 125
11.4.3 转动惯量 127
11.4.4 引力 128
习题 11.4 129
总习题 11 129
模块 12 曲线积分和曲面积分 132
12.1 对弧长的曲线积分 132
12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 132
12.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 134
习题 12.1 135
12.2 对坐标的曲线积分 136
12.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 136
12.2.2 对坐标的曲线积分的计算 138
12.2.3 两类曲线积分之间的联系 139
习题 12.2 140
12.3 格林公式及其应用 140
12.3.1 格林公式 140
12.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 143
12.3.3 二元函数的全微分求积 145
习题 12.3 147
12.4 对面积的曲面积分 147
12.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 147
12.4.2 对面积的曲面积分的计算 148
习题 12.4 150
12.5 对坐标的曲面积分 151
12.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 151
12.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 154
12.5.3 两类曲面积分之间的联系 156
习题 12.5 157
12.6 高斯公式 通量与散度 158
12.6.1 高斯公式 158
12.6.2 通量与散度 159
习题 12.6 162
12.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 162
12.7.1 斯托克斯公式 162
12.7.2 环流量与旋度 163
习题 12.7 165
总习题 12 165
模块 13 数项级数 169
13.1 常数项级数的概念和性质 169
13.1.1 常数项级数的概念 169
13.1.2 收敛级数的基本性质 171
习题 13.1 173
13.2 正项级数的收敛性判别法 174
13.2.1 正项级数及其收敛性判别法 174
习题 13.2 180
13.3 一般项级数 180
13.3.1 交错级数及其判别法 181
13.3.2 绝对收敛和条件收敛 182
习题 13.3 183
总习题 13 183
模块 14 幂级数 187
14.1 幂级数 187
14.1.1 函数项级数的一般概念 187
14.1.2 幂级数及其收敛性 188
14.1.3 幂级数的性质 191
习题 14.1 194
14.2 函数展开成幂级数 194
14.2.1 泰勒级数 194
14.2.2 函数展开成幂级数 197
习题 14.2 201
14.3 函数的幂级数展开式的应用 202
14.3.1 近似计算 202
14.3.2 欧拉公式 205
习题 14.3 206
总习题 14 207
模块 15 傅里叶级数 210
15.1 傅里叶级数 210
15.1.1 三角级数 ￠ 正交函数系 210
15.1.2 函数展开成傅里叶级数 211
15.1.3 正弦级数和余弦级数 215
15.2 周期为 2l 的周期函数的傅里叶级数 218
总习题 15 221
参考文献 223

模块8 微分方程
微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的.数学其他分支的新发展,如复变函数等,都对微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.
牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律.后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.微分方程的理论逐步完善的时候,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法,就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,微分方程也就成了*有生命力的数学分支.本模块主要讨论微分方程的一些基本概念及几种常用的、基本的、简单的微分方程的解法,而且本模块主要学习常微分方程.
8.1 微分方程的基本概念
微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一,它从生产实践与科学技术中产生,成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具.根据实际问题所提供的情况,列出含有要寻找的函数及其导数的关系式,这种关系式就是微分方程．
引例1一曲线通过点(1,4),且在该曲线上任一点M(x;y)处的切线的斜率为5x,求该曲线的方程．
解设所求曲线的方程为y=y(x),根据导数的几何意义,可知未知函数y=y(x)应满足关系式
(8-1)
且满足下列条件:
(8-2)
对(8-1)式两端积分,得
(8-3)
其中C是任意常数.
将条件代入(8-3)式,由此得出常数．把代入(8-3)式,得
所求曲线方程(称为微分方程满足条件的解)为.
引例2 动力学问题
物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,空气的阻力可看作与速度的平方成正比,试确定物体下落过程所满足的关系式.
解 设物体质量为m,空气阻力系数为k,又设在时刻t物体的下落速度为v,于是在时刻t物体所受的合外力为F=mg.kv2,建立坐标系,取向下方向为正方向,根据牛顿第二定律得到关系式
而且,满足初始条件
(8-5)
引例3电力学问题
在R-L-C电路,它包括电感L、电阻R和电容C.设R,L,C均为常数,电源e(t)是时间t的已知函数,建立当开关K合上后,电流I应满足的微分方程.
解 经过电感L、电阻R和电容C的电压降分别为：其中Q为电量,由基尔霍夫第二定律得到
(8-6)
因为,于是有
(8-7)
这就是电流I应满足的微分方程.如果e(t)=常数,则得到
(8-8)
如果又有R=0,则得到
(8-9)
像(8-1),(8-4),(8-7),(8-8),(8-9)式就称为微分方程．下面给出微分方程的基本概念.
8.1.1常微分方程和偏微分方程
微分方程 含有自变量、未知函数及其导数的方程.
常微分方程 只含一个自变量的微分方程.
偏微分方程 自变量的个数为两个或两个以上的微分方程.
方程
(8-10)
(8-11)
(8-12)是常微分方程的例子,y是未知函数,仅含一个自变量t.
方程
(8-13)
(8-14)
是偏微分方程的例子,T是未知函数,x;y;z;t是自变量.
微分方程的阶数微分方程中出现的*高阶导数的阶数.
例如,方程(8-10),(8-12)是二阶的常微分方程,方程(8-11)是一阶的常微分方程,而方程(8-13),(8-14)是二阶的偏微分方程.
一般的n阶微分方程具有形式
(8-15)
这里是的已知函数,而且一定含有,y是未知函数,x是自变量.
8.1.2线性和非线性方程
如果微分方程对于未知函数及其各阶导数的有理整式的整体而言是一次的,则称为线性微分方程,否则称为非线性微分方程.如
(8-16)
是非线性微分方程,而(8-10)是一个二阶的线性微分方程.一般的n阶线性微分方程具有形式
(8-17)
这里是x的已知函数.
8.1.3解和隐式解
微分方程的解满足微分方程的函数称为微分方程的解,即若函数y='(x)代入式(8-15)中,使其成为恒等式,则称y='(x)为方程(8-15)的解.
例如,容易验证是方程的解.
如果关系式.(x;y)=0决定的隐函数y='(x)为方程(8-15)的解,则称.(x;y)=0是方程(8-15)的隐式解.例如,一阶微分方程
有解和,而关系式x2+y2=1是方程的隐式解.
8.1.4通解和特解
通解 方程(8-15)含有n个独立任意常数C1;C2;…;Cn的解,则y='(x;C1;C2;…;Cn)称为方程(8-15)的通解.
特解 方程满足特定条件的解.
定解问题 求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件,相应的定解问题分为初值问题和边值问题.
一般地,初值问题为
(8-18)
特解可以通过初始条件限制,从通解中确定任意常数而得到.
8.1.5 积分曲线
积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线,这条曲线叫做微分方程的积分曲线．
本模块只研究常微分方程．
习题8.1
1.什么是微分方程的阶?区分线性微分方程与非线性微分方程的标准是什么？
2.微分方程的解与代数方程的解有何异同?
3.何谓微分方程的解、通解、特解以及初值问题的解？彼此有何关系？
4.设曲线y=f(x)在其上任一点(x;y)的切线斜率为3x2,且曲线过点(0;.1),求曲线的方程．
5.质量为m的物体在离地面高为s0米处,以初速v0垂直上抛,设此物体的运动只受重力的影响,试确定该物体运动的路程s与时间t的函数关系．
6.验证:函数x=C1cosat+C2sinat是微分方程
的通解．
7.验证:由方程x2.xy+y2=C所确定的隐函数是微分方程
(x.2y)y0=2x.y
的解,并求出满足初始条件的特解．
8.2一阶微分方程
8.2.1变量分离方程
1.变量分离方程
形如
(8-19)
的方程,称为变量分离方程,其中函数f(x)和g(y)分别是x;y的连续函数.
2.求解方法
如果g(y)6=0,方程(8-19)可化为
这样变量就分离开了,两边积分,得到
(8-20)
把分别理解为的某一个原函数.
容易验证,由(8-20)所确定的隐函数满足方程(8-19).因而(8-20)是(8-19)的通解.
如果存在y0使g(y0)=0,可知y=y0也是(8-19)的解.可能它不包含在方程的通解(8-20)中,必须予以补上.
3.例题
例1 求解方程.
解 将变量分离,得到
两边积分,即得
因而,通解为
这里的C是任意的正常数.
或解出显式形式
例2解方程
并求满足初始条件：当x=0时,y=1的特解.
解 将变量分离,得到
两边积分,即得.
因而,通解为
这里的C是任意的常数.此外,方程还有解y=0.
为确定所求的特解,以x=0,y=1代入通解中确定常数C,得到C=.1,因而,所求的特解为
例3求方程
(8-21)
的通解,其中P(x)是x的连续函数.
解 将变量分离,得到
两边积分,即得
这里的是任意常数.由对数的定义,即有
即
令,得到
(8-22)
此外,y=0也是(8-21)的解.如果在(8-22)中允许C=0,则y=0也就包括在(8-22)中,因而,(8-21)的通解为(8-22),其中C是任意常数.
注(1)常数C的选取保证(8-20)式有意义.
(2)方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解,有些通解不能包含方程的所有解.此时,还应求出不含在通解中的其他解,即将遗漏的解要予补上.
(3)微分方程的通解表示的是一族曲线,而特解表示的是满足特定条件y(x0)=y0的一个解,表示的是一条过点(x0;y0)的曲线.
8.2.2可化为变量分离方程的类型
形如
(8-23)
的方程,称为齐次方程,这里的g(u)是u的连续函数.
对齐次方程(8-23)利用变量替换可化为变量分离方程再求解.
令
(8-24)

1