[醉染正版]大学生数学竞赛指导全书(非数学类) 董秋仙 科学出版社

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出版社: 科学出版社; 第1版 (2017年9月1日)

平装: 352页

语种： 简体中文

开本: 16

ISBN: 9787030537225, 703053722X

条形码: 9787030537225

商品尺寸: 23.6 x 16.8 x 2.2 cm

商品重量: 540 g

品牌: 中国科技出版传媒股份有限公司

《大学生数学竞赛指导全书（非数学类）》紧扣大学生数学竞赛的大纲, 层次鲜明, 逻辑性强, 知识点全面但不烦琐. 《大学生数学竞赛指导全书（非数学类）》共10章, 包括函数、极限与连续, 一元函数微分学, 一元函数积分学, 空间解析几何与多元函数微分学, 多元函数积分学, 常微分方程, 无穷级数, 行列式、矩阵与向量, 线性方程组, 矩阵的特征值、特征向量与二次型.

前言

第1章函数、极限与连续

1.1内容概要

1.2例题选讲

1.3竞赛训练题

1.4参考答案

第2章一元函数微分学

2.1内容概要

2.2例题选讲

2.3竞赛训练题

2.4参考答案

第3章一元函数积分学

3.1内容概要

3.2例题选讲

3.3竞赛训练题

3.4参考答案

第4章空间解析几何与多元函数微分学

4.1内容概要

4.2例题选讲

4.3竞赛训练题

4.4参考答案

第5章多元函数积分学

5.1内容概要

5.2例题选讲

5.3竞赛训练题

5.4参考答案

第6章常微分方程

6.1内容概要

6.2例题选讲

6.3竞赛训练题

6.4参考答案

第7章无穷级数

7.1内容概要

7.2例题选讲

7.3竞赛训练题

7.4参考答案

第8章行列式、矩阵与向量

8.1内容概要

8.2例题选讲

8.3竞赛训练题

8.4参考答案

第9章线性方程组

9.1内容概要

9.2例题选讲

9.3竞赛训练题

9.4参考答案

第10章矩阵的特征值、特征向量与二次型

10.1内容概要

10.2例题选讲

10.3竞赛训练题

10.4参考答案

第1章 函数、极限与连续

1.1 内容概要

1.1.1 函数

1.函数的定义

设A是非空数集.若存在对应关系f，对A中任意数x，按照对应关系f，对应唯独的一个数y∈R，则称f是定义在数集A上的函数，表示为

与数x相对应的y称为x的函数值，记为y=f(x)，x称为自变量，y称为因变量.数集A称为函数f的定义域，函数值的集合f(A)=ff(x):x∈Ag称为函数f的值域.

2.几种特殊函数

(1)“对任意x∈R，对应的y是不超过x的最大整数”，这是一个函数，表示为y=[x]，称为取整函数.

(2)“对任意x∈R，对应的y=x.[x]”.这是一个函数，记为y=fxg，称为小数部分函数.

(3)符号函数

(4)狄利克雷函数

下面3个函数也是常用到的.

(i)

(ii)

其中ψ(x)，ψ(x)是[a，b]上的函数.

(iii)定义在[0，1]区间上的黎曼函数

(5)分段函数

设ψ(x)是[a，b]上的函数，.(x)是(b，c]上的函数，h(x)是(c，d]上的函数.定义[a，d]上的函数

称为分段函数.

3.函数的性质

1)函数的单调性

(1)设函数f(x)在数集A上有定义.如果对于任意x1，x2∈A，且x1f(x2))，则称f(x)在A上严格增加(严格减少)，有时也称f(x)在A上严格单调增加(严格单调减少).

(2)若对任意x1，x2∈A，且x1f(x2))，则称f(x)在A上单调增加(单调减少).

2)函数的有界性

(1)设函数f(x)在数集A上有定义.如果存在c>0，使得对任意的x∈A，有

则称函数f(x)在数集A上有界.

(2)设函数f(x)在数集A上有定义.如果存在数p(q)，使得对任意的x∈A，有

则称函数f(x)在数集A上有上界(有下界)，并称p(q)是函数f(x)在数集A上的一个上(下)界.

3)函数的奇偶性

设函数f(x)在数集A上有定义.若对每一个x∈A，有.x∈A且，则称函数f(x)为A上的奇函数(偶函数).

4)函数的周期性

函数f(x)在数集A上有定义.若存在T>0，使得对一切且，则称函数f(x)为A上的周期函数，T称为f(x)的一个周期.

若函数f(x)有最小周期，通常称这个最小周期为f(x)的基本周期.

注函数即使存在周期也不一定有最小周期.例如，狄利克雷函数

是周期函数，但没有最小周期.

1.1.2 极限

1.数列的极限

设{an}为一数列，a为定数.若对任意给定的ε>0，存在正整数N，当n>N时，有

则称数列{an}的极限是a(或称a是数列{an}的极限，或称数列{an}以a为极限)，或称数列{an}收敛到a(此时称{an}是收敛数列，或称{an}存在极限)，表示为

若数列fang不存在极限，即对任意的a∈R，a都不是fang的极限，则称数列{an}发散.

注(1)对任意给定的“>0，实际上是对任意小的正数“而言的，所以在定义中可把“对任意给定的“>0”换成“对任意给定的0<“N时，有

(2)若ε是任意给定的正数，则是正常数)，也都是任意给定的正数.在数列极限的定义中，用c”(c>0)，或p”，或“2代替中的“，作用是一样的.

(3)对具体的数列{an}，要证明，按定义，对任意给定的ε>0，关键是找正整数N，使当n>N时，有所找到正整数N只能与ε有关，N不能与n有关.当找到正整数N，使当n>N时，有取N1>N，当n>N1时，自然也有

即N的选取不是唯独的.比N大的任何正整数N1都可充当我们要的N，找到就行.

2.收敛数列的性质

(1)(唯独性)若数列{ang}收敛，则它的极限是唯独的.

(2)(有界性)若数列{an}收敛，则数列{an}有界，即存在M>0，对任意的正整数n，有

(3)(保序性)若且aN时，有an

若，且存在正整数N，当n>N时，有，则

(4)若，则数列{an}的任何子数列{ank}都收敛且收敛到a.

3.数列收敛判定准则

(1)(夹逼准则)设{an}，{bn}，{cn}是三个数列.若存在正整数N0，当n>N0时，有

且，则

(2)(单调有界定理)单调有界数列存在极限.

若单调递增数列{an}有上界，则{an}必有极限，若单调递减数列{an}有下界，则{an}必有极限.

注单调递增，而单调递减，并可以证明

(3)数列fang收敛的充分必要条件是数列fang的奇子列与偶子列都收敛且它们的极限相等.

(4)(波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理)任何有界数列都存在收敛的子列.

(5)(柯西收敛准则)数列fang收敛的充分必要条件是：对任意给定的ε>0，存在正整数N，当m，n>N时，有

4.函数的极限

(1)设函数f(x)在区间(a，+∞)内有定义，A为定数.若对任意给定的ε>0，存在Δ>0，对任意的x>Δ，有

则称函数f(x)(当x→+∞时)存在极限或收敛，极限是A或收敛于A，表示为

若对任意数A，当x→+∞时，f(x)都不收敛于A，则称f(x)(当x!→+∞时)不存在极限.

(2)设函数f(x)在区间(-∞，a)上有定义，A是定数.若对任意给定的ε>0，存在Δ>0，对任意的，有

则称函数f(x)(当x→∞时)存在极限或收敛，极限是A或收敛于A，表示为

若对任意数A，当x!.1时，f(x)都不收敛于A，则称f(x)(当x!.1时)不存在极限.

(3)设a>0，函数f(x)在上有定义，A是定数.若对任意给定的ε>0，存在Δ>0，对任意的，有，

则称函数f(x)(当x→∞时)存在极限或收敛，极限是A或收敛于A，表示为

若对任意数A，当x→∞时，f(x)都不收敛于A，则称f(x)(当x→∞时)不存在极限.

(4)设函数f(x)在a的某个去心邻域内有定义，A是定数.若对任意给定的ε>0，存在δ>0，对任意的，有

则称函数f(x)(当x→a时)存在极限或收敛，极限是A或收敛于A，或称A是函数f(x)在a的极限，表示为

(5)若函数f(x)在a的右侧(即在(a，a+r)内)有定义，A是定数.若对任意给定的ε>0，存在δ>0，对任意的，有

则称函数f(x)在点a存在右极限，右极限是A，表示为

若对任意数A，A都不是f(x)在a的右极限，则称f(x)在a不存在右极限.

(6)若函数f(x)在a的左侧(即在(a-r，a)内)有定义，A是定数.若对任意给定的ε>0，存在δ>0，对任意的，有

则称函数f(x)在点a存在左极限，左极限是A，表示为

若对任意的数A，A都不是f(x)在a的左极限，则称f(x)在a不存在左极限.

注(1)的充分必要条件是：

(2)若当x→a+时，f(x)存在极限A1，而当x→a-时，f(x)存在极限A2，且，则当x→a时，f(x)必不存在极限.

(3)若当x→a+时，f(x)的极限不存在，或当x→a-时，f(x)的极限不存在，则当x→a时，f(x)的极限不存在.

5.函数极限的性质(以f(x)在a存在极限为例，其他极限形式类似)

(1)(唯独性)若f(x)在a存在极限，则它的极限是唯独的.

(2)(局部有界性)若f(x)在a存在极限，则存在M>0，存在δ>0，对任意的，有.

(3)(保序性)若，则存在δ>0，对任意的，有f(x)

若，且存在δ0>0，对任意的，有f(x)

若且A>0(或A<0)，则δ0>0，对任意的，有f(x)>0(或f(x)<0).