01 如何不去考虑数
02 永无穷尽的素数
03 完美的和不那么完美的数
04 密码学：素数的秘密生活
05 的数
06 数之冰山的水下部分
07 向无穷和更远出发！
08 并非我们熟知的数
名词对照
附英文原文
[英]彼得·希斯eterM.Higgins）英国埃塞克斯大学数学科学系主任，代数学家，圆盘数独的发明者，著有《给好奇者的数学书》《网、谜题和邮差》《想象力的数学书》等书，部分著作已被翻译成意大利语、西班牙语、日语、韩语等多种语言。
密码学便是关于密码（cipher，机密的代码）的学问。让我向你介绍一些虚拟角色吧，他们经常出现在密码学所考虑的各类情境中。我们设想爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）想互相通信，但不想让者伊芙（Eve）听见。我们也许会本能地同情爱丽丝和鲍勃，而将伊芙想象成坏人。但是这可能与相反，伊芙或许代表了正义的警方，努力保护着我们免受鲍勃和爱丽丝的邪恶计划的伤害。
无论参与者的道德立场如何，爱丽丝和鲍勃都可以运用一个古老的方法，将伊芙排除在对话内容之外，哪怕伊芙截取了他们之间传递的信息。方法就是用密钥（cipherkey）来加密数据，而这个密钥只有爱丽丝和鲍勃自己知道。他们可以预定在一个安全的环境会面，交换一个秘密数字（比方说57），然后各自回家。当时机到来时，爱丽丝想要发送一条信息给鲍勃。这里为了叙述方便，我们设信息可以用一个1~9之间的数字来表示。在那个重大的日子，爱丽丝想将信息“8”发给鲍勃。她取出信息，加入秘密数字。也就是说，她通过加上57把真实的数值掩藏了起来，然后将信息8＋57＝65通过一个未经保护的渠道发给鲍勃。鲍勃收到这条信息，减去秘密数字，从而获取爱丽丝的明文65－57＝8。
不过，不怀好意的伊芙很清楚这两个人在干些什么，并且她也确实截获了加密过的信息65。但是她能对它做什么呢？她可能像我们一样，知道爱丽丝发送给鲍勃九种可能的信息1，，，…，9中的一个，也知道她通过将信息加上一个数进行了加密，这个加密数（encipheringnumber）一定在65－9＝56到65－1＝64之间。然而，因为她不知道这九个数字中的哪一个被使用了（她被排除在这个秘密之外），她没法进一步搞清楚爱丽丝给鲍勃发送的明文信息。九种信息中的每一种都有相同的可能。她知道的全部就是爱丽丝给鲍勃发送了一条信息，但是不知道信息的内容。
看起来爱丽丝和鲍勃对伊芙已经防得滴水不漏，他们似乎可以使用这个奇妙的数57来掩藏所有想说的内容，从而不受限制地通信。但是，实际并非如此。他们换一换这个数，实际上每次都使用一个新的密码会更好，不然这套系统就会开始泄露线索给伊芙。比如说，在未来某一周爱丽丝想向鲍勃传送一条相同的信息8。每件事都会与之前一样，再一次伊芙从电波中截获了神秘的数65，但这次会让她读出一些东西。伊芙会知道，无论这条信息是什么，这和爱丽丝周发给鲍勃的是一样的—而这类事情正是爱丽丝和鲍勃所不希望伊芙知道的。
当然，对于爱丽丝和鲍勃来说，这看起来也不是什么大问题。当他们次见面“互换密钥”时，爱丽丝可以不只是约定一个密码，而是提供给鲍勃一张长长的有顺序的列表，里面有上千个密码。他们可以依次使用这些密码，从而避免了在公开通信中出现有意义重复的可能。
我们确实也是这样操作的。这种密码系统在业内被称为一次密码本（one-timepad）。发送者和接收者从密码本中找到一个一次的数，用以掩藏他们的明文。当信息被发送和解密后，密码本中的那一页会被发送者和接收者一起撕掉。一次密码本代表了一种安全的系统，因为在公共领域传输的不安全文本不含有任何关于明文内容的信息。为了解码，拦截者需要拿到密码本才能获得加密/解密的钥匙。
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