全新正版写给孩子的趣味代数学9787307210554武汉大学

Chapter 1 第五种数学运算———乘方 / 001
1.1 乘方:第五种数学运算 / 003
1.2 庞大的天文数字 / 004
1.3 空气的质量 / 006
1.4 常温下的燃烧 / 007
1.5 意想不到的天气变化 / 008
1.6 很难打开的密码锁 / 009
1.7 骑车人的烦恼 / 010
1.8 用2累乘的惊人结果 / 011
1.9 触发器 / 014
1.10 数不清的象棋棋局 / 017
1.11 隐藏在自动弈棋机中的秘密 / 019
1.12 三个2 / 022
1.13 三个3 / 0
1.14 三个4 / 024
1.15 相同的三个数 / 024
1.1 个1 / 026
1.17 四个2 / 026

Chapter 2 代数的语言 / 029
2.1 透过碑文看刁藩都的生平 / 031
2.2 负重的马和骡子 / 032
. 四兄弟各有多少钱 / 033
2.4 两只鸟 / 034
2.5 散步的问题 / 035
2.6 割草人 / 036
2.7 牧场上的问题 / 040
2.8 牛顿关于牛的母题 / 042
2.9 表针的对调问题 / 045
2.10 表针的重合位置 / 048
2.11 猜数游戏 / 049
2.12 “荒唐”的数学题 / 053
2.13 比我们想得更周密的方程 / 054
2.14 棘手的方程 / 055
2.15 理发师的代数题 / 058
2.16 步行者与电车 / 059
2.17 漂流的木筏 / 061
2.18 两罐咖啡的质量 / 062
2.19 晚会上的跳舞人 / 063
2.20 海上的侦察船 / 064
2.21 自行车比赛 / 066
2.22 在摩托车赛场上 / 067
2. 汽车的平均速度 / 069

Chapter 3 算术的帮手 / 071
3.1 简便的速乘法 / 073
3.2 独特的数字1，5,6 / 076
3.3 数字25和76 / 077
3.4 的长“数” / 078
3.5 一个关于补差的古老题目 / 082
3.6 能被11整除的数 / 083
3.7 违规汽车的车牌号 / 086
3.8 能被19整除的数 / 087
3.9 苏菲·热门的问题 /089
3.10 合数的个数 / 090
3.11 素数 / 092
3.12 的素数 / 093
3.13 代数并不总能让问题更简单 / 093

Chapter 4 刁藩都方程 / 095
4.1 怎样付清毛衣钱 / 097
4.2 恢复账本 / 101
4.3 巧买邮票 / 103
4.4 西瓜、苹果和李子 / 105
4.5 出生在哪 / 106
4.6 三姐妹卖母鸡 / 110
4.7 巧推未知数 / 112
4.8 矩形的边长 / 114
4.9 有意思的两位数 / 115
4.10 勾股定理 / 117
4.11 伟大的费马猜想 / 121

Chapter 5 第六种数学运算 / 125
5.1 乘方的逆运算 / 127
5.2 哪个数字更大 / 128
5.3 你能看出吗 / 130
5.4 数学领域里的滑稽剧 / 131

Chapter 6 二次方程 / 135
6.1 参加会议的人数问题 / 137
6.2 蜂群中有多少只蜜蜂 / 138
6.3 顽皮的猴子 / 139
6.4 会预言的方程 / 140
6.5 欧拉的问题 / 141
6.6 广场上的扬声器 / 144
6.7 《口算》中的“难题” / 145
6.8 有意思的数列 / 147

Chapter 7 值和值的问题 / 149
7.1 火车头的距离 / 151
7.2 在哪里设立小站 / 153
7.3 公路的路线设定 / 156
7.4 乘积 / 158
7.5 总和 / 162
7.6 方木梁的体积问题 / 162
7.7 正方形的有趣质 / 163
7.8 扇形的风筝 / 164
7.9 修建新屋 / 165
7.10 建筑工地的面积 / 167
7.11 槽的截面问题 / 168
7.12 大容量的漏斗 / 171
7.13 硬币的亮度 / 173

Chapter 8 级 数 / 177
8.1 古老的级数问题 / 179
8.2 方格纸的妙用 / 180
8.3 园丁的问题 / 182
8.4 养鸡 / 183
8.5 挖沟所用的时间 / 184
8.6 卖苹果 / 185
8.7 买马还是买钉子 / 186
8.8 战士的抚恤金问题 / 188

Chapter 9 第七种数学运算 / 189
9.1 第七种运算———求对数/191
9.2 对数的“敌人” / 192
9.3 “进化”中的对数表 / 194
9.4 对数中的“巨人” / 195
9.5 速算专家的秘密 / 196
9.6 公牛所需的热量 / 199
9.7 音乐中的数学知识 / 200
9.8 恒星、噪声、对数 / 202
9.9 灯泡中的对数 / 204
9.10 富兰克林的遗嘱 / 206
9.11 存款的利息问题 / 209
9.12 的数“ e” / 210
9.13 滑稽的对数 / 212
9.14 用三个2表示出任意数 / 213

Chapter3算术的帮手对于算术来说,仅仅依靠本身的方来某些判断的正确,往往不是特别严密。 在这种情况下,就不得不借代数的概括方法了。 比如,很多简捷的算法、 某些数的有趣特以及判别某些数字能被整除的方法,等等,这些都属于用代数方法来明术题的例子。 这一章我们要讲的就是这类问题。
3.1简便的速乘法善于计算的人经常会借一些简单的代数变换来减少他们的计算量。比如:9882我们就可以用这样的方法来计算:9882=(988+12)×(988-12)+122=1000×976+144=976144很容易就能看出,这里利用的是下面的代数变换:a2=a2-b2+b2=(a+b)(a-b)+b2事实上,我们还可以用上面的公式来进行类似的运算。 比如:272=(27+3)(27-3)+32=729632=66×60+3=6542=58×50+42=2916482=50×46+22=0472=40×34+32=1369182=20×16+2=24再来看另外一个例子,986×997的乘积可以通过这样的方式来计算:986×997=(986-3)×1000+3×14=983042这个方法所依据的又是什么呢?把乘数写成这样的形式:(1000-14)×(1000-3)然后,把这两个二项式按代数的规则乘出来:1000×1000-1000×14-1000×3+14×3接着,再作如下变换:1000×(1000-14)-1000×3+14×3=1000×986-1000×3+14×3=1000×(986-3)+14×3所得到的行就是刚才我们使用的计算方法。
符合这样的条件的两位数的乘积的算法也有意思。 这两个三位数的十位和百位上的数都相同,而个位上的数的和为10。 例如:783×787对于这样的两个三位数,它们的乘积可以这样计算:78×79=616×=21乘积就是:616221。
这种算法的依据十分简单,看了下面的变化过程你就明白了:(780+3)×(780+7)=780×780+780×3+780×7+3×7=780×780+780×10+3×7=780×(780+10)+3×7=780×790+21=616200+21对于这一类乘法,我们还有一种更简单的算法:783×787=(785-2)×(785+2)=7852-22=616225-4=616221在这个例子里,我们必须求出785的平方。
对于末位数是5的数的平方,我们可以用下面的方法去求:35:×4=12,是:1225652:6×7=42,是:4225752:7×8=56,是:5625计算的规则是这样的:先把这个数的十位数乘以比它大1的数,然后再在得出的这个乘积后面写上25。
这个方法是这样的,如果这个数的十位数是a,那么全数就可以写成:10a+5。
这个数字的平方就可以表示为:(10a+5)2=100a2+100a+25=100a(a+1)+25代数式a(a+1)就是十位数和它后面的那个数字的乘积。 将这个乘积乘以100再加上25和在乘积后面直接写上25所得的结果是一样的。
用同样的方法还能计算后面带有1的分数的平方。 例如:?31?=.52=12.25=12124?71?2=7.52=56.25=56124?81?2=8.52=72.25=72124…3.2独特的数字1，5，6很多人都注意到,几个末位同是1或同是5的数连乘之后,所得的乘积的末位还是1或5。 对于数字1和5的这种有意思的质,我们都可以用代数的方法来明。 其实,末位数是6的数字也有这样的质。 末位是6的数无论连乘多少次,所得的结果末位数都依然是6。
例如:462=2116;463=97336下面我们就来分析一下末位是6的数字的质。
末位是6的数字可以表示成下面的形式:10a+6,10b+6其中,a和b可以取任何正整数。
这样的两个数的乘积可以表示为:(10a+6)(10b+6)=100ab+60b+60a+36=10(10ab+6b+6a)+30+6=10(10ab+6b+6a+3)+6可见,这两个数的乘积是由10的倍数和6组成的,所以乘积的末位数当然是6了。
我们也可以用同样的方法来明末位是1或5的数。据此,我们可以得出下面的结论:3862567的末位数是68157的末位数是54911732的末位数是1……3.3数字25和76除了1、 5、 6具有我们上面所说的质外,有些两位数也有着相似的质。 25和76就是具有这样质的两位数。 任意几个末尾同是25或同是76的数相乘,所得的乘积末尾还是原来的数。
现在我们以76为例来明一下。 末尾是76的数的一般表示方法为:100a+76,100b+76a和b都可以取任意正整数。 这样的两个数相乘,乘积为:(100a+76)(100b+76)=10000ab+7600b+7600a+5776=10000ab+7600b+7600a+5700+76=100(100ab+76b+76a+57)+76由上面行的式子可以看出,乘积的末尾还是76。
依此类推,凡是末尾是76的数,它的任意次方的末尾依然是76:3762=141376,5763=191102976,…3.4的长“数”还有更多位数字组成的长串数尾,在经过连乘之后,得到的乘积的数尾与原来数字的数尾一样。
我们已经知道两位数中,具有这种质的是25和76。 为了找出具有这种质的三位数,我们可以在25或76前面再写上一位相应的数字。
下面,我们先来讨论一下在76前面加上一个什么样的数所得的三位数能够具有这种质。 设前面应该加的那个数字为k(k为任意正整数),得到的三位数就可以表示为:100k+76那么,末尾是这个三位数的数就可以表示为:1000a+100k+76,1000b+100k+76其中,a,b可以取任意正整数。将这两个数相乘,可以得出:(1000a+100k+76)(1000b+100k+76)=1000000ab+100000ak+100000bk+76000a+76000b+10000k2+15200k+5776上面的式子,除了两项之外,各项都能被1000整除。 只要两项的和(15200k+5776)与(100k+76)的差能被1000整除,就可以明所得乘积的数尾是(100k+76)。 由于15200k+5776-(100k+76)=15100k+5700=15000k+5000+100(k+7)所以,只有当k取3的时候,所得乘积的数尾才能与原来的数的数尾相同。
所以,376就是我们所要求的三位数。 而376的任意次方的尾数也一定是376。
例如:3762=141376同理,如果要找出具有这种质的四位数,那么我们就应该在376前面再加上一位数,设所加的这个数为l,我们就可以把原来的问题转化成这样:求 l为多少的时候,(10000a+1000l+376)(10000b+10000l+376)所得的结果的尾数会是(1000l+376)。 现在我们把所得的乘积中能被10000整除的各项都舍去,得到的式子就是:752000l+141376只要 (752000l+141376)与(1000l+376)相减,所得的差能被10000整除,就明乘积的尾数是(1000l+376)。 由于752000l+141376-(1000l+376)=751000l+141000=(750000l+140000)+1000(l+1)观察上面行的多项式可以看出,只有当l=9时,所得的差才能被10000整除。
所以,符合条件的四位数就是9376。 继续像前面那样进行推理,我们会发现,符合条件的五位数为09376,符合条件的六位数为109376,符合条件的七位数为7109376,……这样,一位一位地增加可以制地进行下去。 这么做的结果是,我们将会得到一个多位的“数”:…7109376这样的数都可以按通常的规则进行加法和乘法的运算,因为这种数字是从右向左写的,而加法和乘法的竖式也是从右向左进行的。 而且在两个这样的数的和或者乘积中,还可以逐个地减去任意多的数字。
更为有趣的是,我们上面所说的那个长的“数”,能够满足下面的方程:x2=x这看起来是不可能的。 但是事实上,由于这个数的尾数是76,所以它的平方的尾数也会是76。 由于同样的原因,这个数的平方的尾数也可以是376,或者是9376,等等。 换句话说,也就是当x=…7109376时,我们可以从它的平方中逐位去掉一些数字,这时候,我们就能得到一个和x相同的数字,这就是x2=x成立的原因。
前面我们对末尾是76的数①进行了分析。 用类似的方讨末尾是5的数,我们能得到下面一组数字:5,25,625,0625,90625,890625,2890625,等等。 同样我们还能写出一个可以满足方程x2=x的长的“数”…2890625而且,这个数还恰好“等于”(((52)2)2)2...这个结果有意思,如果我们用代数语言把它表示出来,可以这样说:对于方程x2=x来说,除x=0和x=1之外,还有两个“”的解,也就是:x=…7109376和x=…2890625除此之外,在十进制中就没有的解了。
①另外,两位数76也可以借于上面的推理方法求得:只要求出在6前面加一个什么数可以得到具有我们所说的质的两位数就可以。 所以,“数”…7109376也可以当作是在6前面一个一个加上相应的数得出。
3.5一个关于补差的古老题目[题]在很久以前,有这样一个故事。 两个贩卖家畜的人把他们共有的一群牛卖了,每头牛所卖的钱恰好是这群牛的总头数。 接着,他们用卖牛所得的钱又买回了一群羊,每只羊的价格是10元,他们用钱数的零头又换回了一只小羊。 分羊的时候,两个人分得的羊的数量一样多,只是第二个人得到了那只小羊。 为了公平起见,两人商议后决定,让个人找补他一点钱。 设找补的钱是整数,那么个人应该找补给第二个人多少钱?[解]这道题不能直接转换成代数语言来解答,因为根据所给出的条件,我们没有办法列出方程来。 为了解出这道题,我们只好采用一种特殊的途径———自由的数学思考。 虽然不能把题目转换成代数语言,但是在解题的过程中,代数还是起了重要的作用。
根据题意,每头牛的价格与牛的总数相等,也就是以每头n元的价格卖掉了n头牛。 所以,两个人卖牛所得的钱的总数应该是一个完全平方数,即n2。 而由于其中一个人分得的羊多了一头,所以用卖牛的钱所买的羊的数量应该是个奇数。 这就可以推断出n2这个数的十位数也是一个奇数。 对于一个十位数是奇数的完全平方数来说,它的个位数只有一种可能,就是6。
我们设一个十位数是a,个位数是b的整数,那么它的平方就是(10a+b)2。
(10a+b)2=100a2+20ab+b2=(10a2+2ab)×10+b2对于这样一个数字来说,它的十位数有一部分是(10a2+2ab),还有一部分包含在b2里。 由于(10a2+2ab)是一个偶数,所以只有当包含在b2中的十位数是奇数时,(10a+b)2里所含的十位数才会是奇数。 由于b2是个位上的数的平方,所以b2可以取的值有以下几种可能:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81在这些可能取的值中,只有16和36的十位数是奇数。 而且它们的个位数都是6,所以可以说,对于数字(100a2+2ab+b2)来说,只有当个位数字是6时,它的十位数才会是奇数。
由此我们可以得出,每只小羊的价格应该是6元。 现在问题就很容易解决了,由于大羊的价格是每只10元,所以,分得小羊的这个人比另一个人少分了4元。 为了公平,分得大羊的人只需要补给他的同伴2元钱就可以了。
因此这个问题的就是2元。

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