目录
丛书序
前言
章 变分原理、Euler-Lagrange方程与微分算子 1
1.1 变分原理与泛函 1
1.2 Euler-Lagrange方程 2
1.2.1 一阶泛函的驻立值问题 2
1.2.2 高阶泛函的驻立值问题 4
1.3 微分算子 6
1.3.1 全微分算子 6
1.3.2 Euler-Lagrange算子 7
第2章 常微分方程的Lie 对称分析 10
2.1 单参数Lie变换群及其延拓 10
2.1.1 单参数Lie变换群 10
2.1.2 无穷小生成元 14
2.1.3 正则坐标 16
2.1.4 对称 17
2.1.5 无穷小生成元的延拓 18
2.2 Lie代数 24
2.2.1 Lie代数与Lie括号 24
2.2.2 Lie代数的质 25
2.. 可解Lie代数 28
. 正则变量方法求解微分方程 29
..1 正则变量方法 29
..2 求解微分方程步骤 30
2.4 微分方程的对称 34
2.4.1 微分方程的对称定理 34
2.4.2 一阶微分方程的决定方程 35
2.4.3 二阶微分方程的决定方程 37
2.5 Lie-B.cklund算子 41
2.6 Lie-B.cklund代数 45
2.7 Lie-B.cklund对称50
2.7.1 扩展标架 50
2.7.2 Lie-B.cklund对称表达式 51
2.8 多参数Lie变换群及其延拓 56
2.8.1 多参数Lie变换群及其无穷小生成元 56
2.8.2 双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓 57
2.9 基于符号计算系统的Lie对称分析 60
2.9.1 符号计算系统 60
2.9.2 常用符号计算软件 61
第3章 偏微分方程组的Lie对称分析 63
3.1 单参数Lie变换群及其延拓 63
3.1.1 单参数Lie变换群 63
3.1.2 无穷小生成元 66
3.1.3 无穷小生成元的延拓 68
3.2 方程组的对称 77
3.3 微分方程组的对称 80
3.4 Lie-B.cklund算子与代数 83
3.4.1 Lie-B.cklund算子 83
3.4.2 Lie-B.cklund代数 86
3.5 Lie-B.cklund对称 87
3.6 多参数Lie变换群及其延拓 94
3.6.1 多参数Lie变换群及其无穷小生成元 94
3.6.2 双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓 95
第4章 Noether守恒律 99
4.1 具有单变量的物理系统的Noether守恒律 100
4.1.1 单变量情形下的Euler-Lagrange方程 100
4.1.2 单变量情形下的Noether守恒律及其明 100
4.2 具有多变量的物理系统的Noether守恒律 114
4.2.1 多变量情形下的Euler-Lagrange方程 114
4.2.2 多变量情形下的Noether守恒律及其明 115
4.. 关于部分/全表面边界条件的讨论 130
4.3 双参数变换群条件下的Noether守恒律 132
4.3.1 双参数单变量Noether定理 132
4.3.2 双参数多变量Noether定理 135
第5章 Ibragimov守恒律140
5.1 伴随算子与伴随方程（组） 140
5.1.1 伴随算子 140
5.1.2 伴随方程——线微分方程 142
5.1.3 伴随方程组——非线微分方程组 148
5.2 伴随方程（组）的对称 150
5.2.1 微分方程情形 150
5.2.2 微分方程组情形 155
5.3 Ibragimov守恒律表达式156
5.4 双参数变换群条件下的Ibragimov守恒律 159
第6章 近似Lie对称 164
6.1 近似Lie代数 164
6.1.1 近似Lie代数的定义 164
6.1.2 近似对称的代数质 165
6.1.3 近似不变量 167
6.2 近似算子与算子近似阶次确定 168
6.2.1 近似Lie算子与近似Lie-B.cklund算子 168
6.2.2 算子近似阶次确定 169
6.3 微分方程（组）近似Lie对称的质 174
6.4 方程组的近似Lie对称 176
6.5 微分方程组的近似Lie对称 179
6.5.1 微分方程组近似Lie对称明 179
6.5.2 近似Lie算子的延拓 183
6.6 近似Lie-B.cklund算子与对称 185
6.6.1 近似Lie-B.cklund算子的延拓 186
6.6.2 近似Lie-B.cklund对称 186
第7章 近似Noether守恒律 194
7.1 近似Noether算子与算子近似阶数确定 194
7.1.1 近似Noether算子 194
7.1.2 算子近似阶次确定 195
7.2 近似Noether守恒律及其求解方法 199
7.2.1 部分Lagrange函数 199
7.2.2 近似Noether守恒律表达式 200
7.. 求解方法总结 201
第8章 近似Ibragimov守恒律 202
8.1 伴随方程（组）的对称 202
8.1.1 伴随方程组 202
8.1.2 微分方程情形 203
8.1.3 微分方程组情形 206
8.2 近似Ibragimov守恒律表达式 209
第9章 势对称与近似势对称 212
9.1 势对称含义 212
9.2 微分方程的势对称 212
9.2.1 偏微分方程的势对称 213
9.2.2 常微分方程的势对称 218
9.. 原方程和辅系统的Lie对称变换 220
9.2.4 守恒形式 220
9.3 微分方程的近似势对称 221
0章 弹力学中的应用 224
10.1 杆的平衡方程的守恒律 224
10.2 梁的平衡方程的守恒律 226
10.3 平面问题的位移法方程的对称和守恒律 229
10.3.1 Lie对称 0
10.3.2 Noether守恒律 4
10.4 三维问题的位移法方程的对称
10.5 疲劳裂纹扩展方程的对称和守恒律 246
10.5.1 Lie对称 247
10.5.2 Lie-B.cklund对称 248
10.5.3 Noether守恒律 250
10.5.4 Ibragimov守恒律 250
10.6 功能梯度材料的路径无关积分与裂纹扩展力 251
10.6.1 均质材料平面问题的守恒律 252
10.6.2 功能梯度材料的路径无关积分 254
10.6.3 裂纹扩展力 256
10.7 物理平面上解析函数的守恒积分及其应用 257
10.7.1 解析函数的守恒积分 257
10.7.2 关于守恒积分的讨论 262
10.7.3 平面弹体裂纹的守恒积分 263
10.8 V型平面缺口问题中的守恒积分及其应用 265
10.8.1 基于平面弹力学复势理论的Lagrange函数 266
10.8.2 基于Noether定理的守恒律 269
10.8.3 在V型缺口问题中的应用 271
10.9 纵向剪切问题中V型缺口的守恒积分及其应用 276
10.9.1 Lie对称分析 277
10.9.2 守恒积分 281
10.9.3 在尖锐V型缺口问题中的应用 283
1章 流体力学中的应用 292
11.1 KdV方程的变分对称 292
11.2 KdV方程的高阶对称 294
11.2.1 伴随方程与Lagrange函数 294
11.2.2 守恒律 295
11.3 扰动KdV方程的高阶近似对称 301
11.4 mKdV方程的Ibragimov守恒律 305
11.4.1 Ibragimov守恒律 305
11.4.2 微分Lagrange算子方法 .308
11.5 Maxwell分布的Ibragimov守恒律 310
11.6 Navier-Stokes系统的Ibragimov 守恒律 312
2章 一般力学中的应用 316
12.1 三维情况质点系统的守恒定律 316
12.1.1 时间平移不变——能量守恒 321
12.1.2 空间平移不变——动量守恒 321
12.1.3 空间旋转不变——角动量守恒 322
12.2 自由落体运动的守恒律 3
1. 一维阻尼振子的守恒律 325
12.4 一维运动方程的Ibragimov守恒律 325
12.5 两质点系统扰动方程的近似对称和守恒律 327
12.5.1 近似Lie对称 328
12.5.2 近似Noether对称 331
12.5.3 近似Ibragimov守恒律 333
12.6 含扰动结构动力响应方程的近似对称和守恒律 334
12.6.1 近似Lie对称 335
12.6.2 近似Noether守恒律 343
12.7 非线振动方程的对称和守恒律 348
12.7.1 一般形式非线振动方程的对称和守恒律 348
12.7.2 Duffing振动方程的对称和守恒律 356
12.7.3 Duffing振动方程的分叉现象 362
12.7.4 Duffing振动方程的守恒律和分叉现象的关系 364
12.8 颤振方程的对称和守恒律 364
12.8.1 线气动力和力矩 365
12.8.2 非线气动力和力矩 374
3章 数学物理方程中的应用 380
13.1 热传导方程的Ibragimov守恒律 380
13.1.1 伴随方程与Lagrange函数 380
13.1.2 守恒律 381
13.2 非线热传导方程的Ibragimov守恒律 385
13.2.1 伴随方程与Lagrange函数 385
13.2.2 守恒律 390
13.3 非线热传导方程的势对称 393
13.4 Burger方程的势对称 394
13.5 非均匀介质中波动方程的势对称 395
13.6 非均匀介质中扰动波动方程的近似势对称 398
13.7 带有扰动对流项的非线扩散方程的近似势对称 401
13.8 Duffing方程的Lie对称 404
13.8.1 确定外力 405
13.8.2 均值为0的随机外力 408
13.9 Van der Pol方程的Lie对称 411
13.9.1 确定外力 412
13.9.2 &n
对称和守恒律是物质的状态和运动规律在对称变换下的质。本书以力学分析中的对称和守恒律为中心，尽量减少复杂数学理论的罗列，系统地、深入浅出地介绍了对称和守恒律的主要基本理论和相关应用。篇首先介绍了Lie变换群、Lie代数等基本知识，讨论了方程组和微分方程组的Lie对称和Lie-B?cklund对称、阶对称，后分别介绍了Noether守恒律、Ibragimov守恒律和势对称。第二篇是部的推广，研究了扰动微分方程组的对称与守恒律，分别给出近似Lie对称、近似Noether守恒律、近似Ibragimov守恒律和近似势对称的求解方法。第三篇通过大量例子，介绍了对称和守恒律在弹力学、流体力学、一般力学等领域的应用。
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