[正版新书]人工智能数学基础 陆伟峰 谷 瑞 蔡炳育 王美艳 清华大学出版社 人工智能-应用数学-基本知识

    本书面向广大数据科学与人工智能专业的学生及初学者，力求通俗易懂、简洁清晰地呈现学习大数据与人工智能需要的基础数学知识，助力读者为进一步学习人工智能打好数学基础。

    全书分为 4 篇，共 19 章：微积分篇（第 1～5 章），主要介绍极限、导数、极值、多元函数导数与极值、梯度下降法等；线性代数篇（第 6～10 章），主要介绍向量、矩阵、行列式、线性方程组、特征值和特征向量等，并介绍这些数学知识在人工智能中的应用；概率统计篇（第 11～17 章），主要介绍概率、随机变量、数字特征、相关分析和回归分析，并介绍数据处理的基本方法和 Pandas 在数据处理中的应用；应用篇（第18 章和第 19 章），主要介绍人工智能中典型的全连接神经网络和卷积神经网络。

    本书既有理论又有应用，既可以用纸笔计算，也可以用 Python 编程计算，读者可在学习过程中根据需要合理地选择侧重点。

    本书既可作为高职院校数据科学与人工智能专业的教材，也可作为相关产业从业者的自学或参考用书。

陆伟峰，副教授，苏州工业园区服务外包职业学院教师，从事数学、大数据与人工智能相关的教学与研究工作。先后参与编写了《大学数学》《Python基础编程》等教材，发表核心期刊论文2篇，获发明专利1项，并主持多项课题。多次指导学生参加全国大学生数学建模竞赛、江苏省高等职业院校技能大赛大数据技术与应用赛项等并获佳绩。

谷瑞，副教授，苏州工业园区服务外包职业学院教师，从事大数据与人工智能相关的教学与科研工作，先后出版《Python基础编程》《TensorFlow深度学习开发实战》等教材，主持省市级教科研项目8项，发表SCI、EI等相关论文4篇。

蔡炳育，副教授，主持或参与完成教研、教改项目28项，获江苏省教学成果二等奖1项。获2020年、2021年省级教学大赛二等奖，省微课大赛三等奖2次，出版教材5部，发表论文15篇。

王美艳，硕士，2006年毕业于华东师范大学，专业方向为李代数与量子群。毕业后一直从事大学数学教学，发表论文数篇，主持横向课题、教改课题多项。

    本书专门为数据科学和人工智能相关产业的从业者、高职院校和应用型本科的学生打造，旨在为读者提供学习数据科学和人工智能所需掌握的数学基础知识，帮助读者了解人工智能算法的

基本数学原理，为进一步学习人工智能打好基础。

    本书既有理论又有应用，既可以用纸笔计算，也可以用Python编程计算，读者可在

学习过程中根据需要合理地选择侧重点。  

    本书引入人工智能实例，促进概念理解。本书引入了向量与编码、矩阵与数字图像

处理、梯度下降法、回归分析、神经网络等人工智能中的典型案例，使学生初步了解向

量、矩阵、导数等基础数学概念和方法在人工智能中的应用，更深刻地理解数学概念和

方法，并提高运用数学知识解决问题的能力。    

目 录

微 积 分 篇

第1 章 函数与极限                               2

1.1 函数                                ·· 2

1.1.1 函数的定义                            2

1.1.2 函数的表达形式                          3

1.1.3 分段函数                             5

1.1.4 函数的运算                            6

1.1.5 基本初等函数与初等函数                    ·· 7

1.1.6 使用SymPy 进行函数运算                     12

1.2 极限的概念                             · 15

1.2.1 数列的极限                          ·· 15

1.2.2 函数的极限                          ·· 17

1.3 无穷小量和无穷大量                         · 22

1.3.1 无穷小量的定义                        ·· 22

1.3.2 无穷小量的性质                        ·· 23

1.3.3 无穷大量                           ·· 24

1.3.4 无穷小量与无穷大量的关系                   · 24

1.4 极限的计算                             · 25

1.4.1 极限的四则运算法则                      ·· 26

1.4.2 复合函数的极限运算法则                    · 28

1.4.3 使用SymPy 求极限                       · 28

习题1                                   30

第2 章 导数                                ·· 32

2.1 导数的概念                             · 32

2.1.1 平均变化率                          ·· 33

2.1.2 瞬时变化率                          ·· 33

2.1.3 导数的定义                          ·· 35

2.1.4 导数的几何意义                        ·· 36

2.1.5 不可导的三种情形                       ·· 37

2.2 导数的运算                             · 38

2.2.1 基本导数公式                         ·· 38

2.2.2 导数的四则运算法则                      ·· 38

2.2.3 复合函数求导法                        ·· 39

2.2.4 使用SymPy 求导数                       · 41

2.3 高阶导数                              · 41

2.3.1 高阶导数的定义                        ·· 41

2.3.2 使用SymPy 求高阶导数                      42

习题2                                   43

第3 章 极值与最值                             ·· 44

3.1 函数的单调性                            · 44

3.2 函数的极值                             · 46

3.2.1 极值的定义                          ·· 46

3.2.2 可能的极值点                         ·· 47

3.2.3 极值的判定定理                        ·· 49

3.2.4 使用SymPy 求函数的极值                     50

3.3 函数的最值                             · 51

习题3                                   52

第4 章 二元函数的导数与极值                        ·· 53

4.1 二元函数的概念                           · 53

4.1.1 二元函数的定义                        ·· 53

4.1.2 二元函数的定义域                       ·· 54

4.1.3 二元函数的几何意义                      ·· 55

4.1.4 使用SymPy 求多元函数的函数值                  55

4.2 二元函数的偏导数                          · 56

4.2.1 偏导数的概念                         ·· 56

4.2.2 偏导数的计算                         ·· 56

4.2.3 偏导数的几何意义                       ·· 57

4.2.4 使用SymPy 求偏导数                     · 58

4.3 二元函数的极值                           · 58

习题4                                   60

第5 章 最优化基础：梯度下降法                       ·· 61

5.1 梯度的定义                             · 61

5.2 梯度下降法                             · 62

5.2.1 一元函数的梯度下降法                    ·· 62

5.2.2 二元函数的梯度下降法                    ·· 63

5.3 使用Python 实现梯度下降法求函数极值                  66

习题5                                   67

线性代数篇

第6 章 向量与编码                             ·· 70

6.1 向量的概念与运算                          · 70

6.1.1 向量的概念                          ·· 70

6.1.2 使用NumPy 建立向量                       72

6.1.3 向量的运算                          ·· 73

6.1.4 使用NumPy 实现向量的运算                    74

6.2 向量的范数与相似度                         · 75

6.2.1 范数的定义与NumPy 实现                     75

6.2.2 向量的相似度                         ·· 77

6.2.3 使用NumPy 计算向量相似性                    80

6.3 向量间的线性关系                          · 81

6.3.1 线性组合                           ·· 81

6.3.2 线性相关与线性无关                      ·· 81

6.4 实战案例：K-means 聚类算法解决鸢尾花归类问题            ·· 83

6.4.1 鸢尾花数据集Iris                         83

6.4.2 K-means 聚类算法                       ·· 84

6.4.3 使用K-means 聚类算法求解Iris 分类问题             ·· 85

习题6                                   87

第7 章 矩阵与数字图像处理                         ·· 88

7.1 矩阵的基本知识                           · 88

7.1.1 矩阵的概念                          ·· 88

7.1.2 几种特殊矩阵                         ·· 92

7.1.3 使用NumPy 建立矩阵                       93

7.2 矩阵的运算                            ·· 100

7.2.1 矩阵的基本运算                         100

7.2.2 使用NumPy 进行矩阵运算                   · 106

7.3 实战案例：矩阵在数字图像处理中的应用               ·· 109

7.3.1 图像基础                            109

7.3.2 数字图像的矩阵表示                       111

7.3.3 矩阵运算实现图像处理                     112

7.4 矩阵的初等变换                          ·· 116

7.5 阶梯形矩阵与矩阵的秩                       ·· 117

7.5.1 阶梯形矩阵                           117

7.5.2 矩阵的秩                            119

7.5.3 使用NumPy 和SymPy 求行最简阶梯形矩阵及矩阵的秩        120

习题7                                 · 121

第8 章 行列式                                123

8.1 行列式的概念                           ·· 123

8.1.1 二阶与三阶行列式                        123

8.1.2 n 阶行列式                           126

8.2 方阵的行列式                           ·· 128

8.3 使用NumPy 求行列式                        · 129

习题8                                 · 130

第9 章 线性方程组                              132

9.1 线性方程组的概念                         ·· 132

9.2 消元法解线性方程组                        ·· 133

9.3 齐次线性方程组                          ·· 140

9.4 非齐次线性方程组                         ·· 144

9.5 使用NumPy 和SymPy 求解线性方程组                ·· 146

9.5.1 使用numpy.linalg.solve()求解线性方程组             · 146

9.5.2 使用NumPy 和SymPy 求解一般线性方程组             147

习题9                                 · 148

第10 章 矩阵的特征值与特征向量                      · 150

10.1 特征值与特征向量的概念                      · 150

10.2 使用NumPy 求特征值与特征向量                  ·· 153

习题10                                ·· 153

概率统计篇

第11 章 Pandas 基础                             156

11.1 建立DataFrame 对象                        · 156

11.2 打开CSV 文件                          ·· 158

11.3 查看DataFrame 对象的属性                     · 159

11.4 选择数据                             · 161

11.4.1 使用df[]运算符选择某列数据                 ·· 161

11.4.2 使用df.iloc[]选择数据                      164

习题11                                ·· 165

第12 章 数据的整理与展示                         · 167

12.1 数据的属性                            · 168

12.2 数据的预处理                           · 169

12.2.1 缺失值处理                         · 169

12.2.2 归一化                           · 171

12.2.3 规范化                           · 172

12.3 数据整理与展示                          · 172

12.3.1 分布数列                          · 172

12.3.2 数据可视化                         · 174

习题12                                ·· 177

第13 章 描述统计                             · 178

13.1 数据位置的描述                          · 179

13.2 数据集中趋势的度量                        · 179

13.3 数据离散趋势的度量                        · 181

13.4 数据分布形态的度量                        · 184

习题13                                ·· 185

第14 章 概率的定义与运算                         · 186

14.1 随机事件                             · 186

14.1.1 随机现象                          · 186

14.1.2 随机事件                          · 187

14.1.3 样本空间                          · 188

14.1.4 随机事件的关系与运算                    · 188

14.1.5 使用NumPy 模拟随机事件                  ·· 191

14.2 概率的定义                            · 192

14.2.1 概率的统计定义                       · 192

14.2.2 概率的古典定义                       · 193

14.2.3 使用NumPy 模拟计算概率                  ·· 195

14.3 概率的加法公式                          · 197

14.3.1 互斥事件概率的加法公式                   · 197

14.3.2 任意事件概率的加法公式                   · 199

14.4 概率的乘法公式                          · 199

14.4.1 条件概率                          · 199

14.4.2 概率的乘法公式                       · 202

14.4.3 独立事件的概率乘法公式                   · 203

14.5 全概率公式                            · 203

14.6 贝叶斯公式                            · 205

习题14                                ·· 206

第15 章 随机变量                             · 208

15.1 随机变量的概念                          · 208

15.2 离散型随机变量概率分布                      · 209

15.2.1 分布列                           · 209

15.2.2 两点分布                          · 211

15.2.3 二项分布                          · 211

15.3 连续型随机变量及其分布                      · 212

15.3.1 概率密度函数                        · 212

15.3.2 均匀分布                          · 213

15.3.3 正态分布                          · 213

15.4 使用NumPy 生成指定分布的随机数                 ·· 217

习题15                                ·· 219

第16 章 随机变量的数字特征                        · 220

16.1 数学期望                             · 221

16.1.1 离散型随机变量的数学期望                  · 221

16.1.2 连续型随机变量的数学期望                  · 223

16.1.3 数学期望的性质                       · 223

16.1.4 使用NumPy 计算均值与期望                 ·· 224

16.2 方差                               · 225

16.2.1 离散型随机变量的方差                    · 226

16.2.2 连续型随机变量的方差                    · 226

16.2.3 方差的性质                         · 227

16.2.4 使用NumPy 计算方差和标准差                ·· 228

16.3 常见分布的数学期望与方差                     · 229

16.4 使用Pandas 进行描述统计                       229

习题16                                ·· 232

第17 章 相关分析与回归分析                        · 233

17.1 散点图                              · 233

17.2 相关关系                             · 234

17.3 线性相关及其度量                         · 235

17.4 回归分析                             · 237

17.4.1 回归分析的概念                       · 237

17.4.2 回归分析的分类                       · 237

17.4.3 一元线性回归分析                      · 238

17.4.4 多元线性回归分析                      · 242

17.5 实战案例：建立线性回归模型求解波士顿房价问题            243

习题17                                ·· 246

应 用 篇

第18 章 神经网络                             · 248

18.1 神经元模型                            · 249

18.2 神经网络结构                           · 252

18.2.1 网络结构                          · 252

18.2.2 前向传播                          · 252

18.2.3 损失函数                          · 254

18.2.4 反向传播                          · 254

18.3 神经网络的数学公式推导                      · 254

18.4 使用Keras 实现神经网络求解波士顿房价预测问题           · 256

习题18                                ·· 258

第19 章 卷积神经网络                           · 259

19.1 AlexNet 卷积神经网络简介                     ·· 260

19.2 AlexNet 卷积神经网络技术详解                   ·· 261

19.2.1 卷积                            · 261

19.2.2 池化                            · 273

19.2.3 全连接层与Dropout 技术                   ·· 275

19.3 AlexNet 网络的结构分析                      ·· 277

19.4 AlexNet 网络的Keras 实现                     ·· 279

19.5 实战案例：使用AlexNet 求解猫狗图片分类问题            · 280

习题19                                ·· 284

参考文献                                   286

附录A 标准正态分布函数数值表                        287