音像大变形弹塑理论(上册)陈明祥

前言

章 张量代数的基本知识 1

1.1 矢量、指标记法、Kronecker符号与置换符号 1

1.1.1 矢量 1

1.1.2 指标记法与Kronecker符号 3

1.1.3 置换符号 4

1.1.4 矢量的坐标变换 7

1.2 二阶张量的定义 9

1.2.1 定义为线变换的二阶张量及其分量表示 9

1.2.2 两矢量之间的并乘、二阶张量的表示及其与矢量的点积 11

1.3 二阶张量的基本运算规则 13

1.3.1 二阶张量的和与标量乘 13

1.3.2 二阶单位张量 14

1.3.3 二阶张量之间的点积 15

1.3.4 二阶张量的转置：对称张量和反对称张量 16

1.3.5 二阶张量的逆 18

1.3.6 二阶张量之间的双点积 20

1.3.7 二阶张量的迹 21

1.3.8 二阶张量的坐标变换 22

1.4 二阶张量的主不变量、特征值和特征矢量

1.4.1 主不变量

1.4.2 余因子张量 25

1.4.3 特征值和特征矢量 28

1.5 二阶张量的幂与Hamilton-Cayley定理 30

1.6 对称张量 32

1.6.1 特征值与特征矢量 32

1.6.2 偏张量及其特征值与特征矢量 33

1.6.3 对称张量的另外一种分解 37

1.6.4 对称张量的正定 39

1.7 反对称张量 41

1.8 正交张量 44

1.8.1 正交张量的定义 44

1.8.2 正正交张量 45

1.8.3 正常正交张量使用反对称张量的表示 48

1.8.4 正交张量的Euler角表示 51

1.9 高阶张量 51

1.9.1 三阶张量 51

1.9.2 四阶张量 54

1.9.3 高阶张量 56

1.9.4 张量的方积与四阶单位张量 57

1.9.5 四阶张量的特征张量与特征值 59

第2章 张量分析初步 63

2.1 张量函数 63

2.2 张量函数的线化与方向导数 65

2.2.1 基本定义与质 65

2.2.2 若干例子 68

. 张量函数的梯度 70

..1 标量值张量函数的梯度 70

..2 张量值张量函数的梯度 74

2.4 张量函数的时间导数 76

2.5 张量场 80

2.5.1 梯度 80

2.5.2 散度 83

2.5.3 旋度 84

2.5.4 Laplace算子和Hessian算子 85

2.5.5 积分定理 86

2.6 各向同张量函数 89

2.6.1 标量值各向同函数 89

2.6.2 张量值各向同函数 92

2.6.3 各向同张量 93

2.7 各向同标量值张量函数表示定理 95

2.7.1 自变量为一个对称张量的标量值各向同函数 95

2.7.2 自变量为一个对称张量和一个矢量的标量值各向同函数 96

2.7.3 自变量为多个对称张量和反对称张量的标量值各向同函数 96

2.8 各向同张量值张量函数表示定理 101

2.8.1 自变量为一个对称张量的张量值各向同函数 101

2.8.2 自变量为一个张量和一个矢量的张量值各向同函数 104

2.8.3 自变量为两个对称张量的对称张量值和反对称张量值的各向同函数 105

2.8.4 自变量为一个对称张量和一个反对称张量的对称张量值和反对称张量值的各向同函数 110

第3章 变形几何 113

3.1 连续介质 113

3.2 构形与运动 114

3.3 变形梯度 116

3.4 伸长与变形张量 119

3.4.1 伸长比与变形张量 119

3.4.2 主伸长比与主方向 121

3.5 变形梯度的极分解——伸长和转动 1

3.5.1 极分解 1

3.5.2 变形椭球 125

3.5.3 变形梯度和正交张量的主轴表达 127

3.5.4 伸长张量U使用C及其主值的闭合表示 128

3.6 几个简单变形实例的分析 129

3.6.1 均匀拉伸 129

3.6.2 平面变形 130

3.6.3 简单剪切 132

3.6.4 扭转 138

3.6.5 弯曲 140

3.6.6 不可伸长约束与方向转动约束 142

3.7 体积比、面积比与剪切角 144

3.7.1 体积比 144

3.7.2 面积比 145

3.7.3 剪切角 146

3.8 等体积变形与变形的分解 147

3.9 Green和Almansi应变张量 149

3.9.1 Green应变张量 149

3.9.2 Almansi应变张量 152

3.10 参考构形转动与当前构形转动下变形张量的变换 156

3.10.1 参考构形转动 156

3.10.2 当前构形转动 157

3.11 Hill应变度量、Seth应变度量 158

3.11.1 Hill应变度量 158

3.11.2 Seth应变度量 159

3.12 几何线化 163

3.12.1 变形梯度及其逆的线化 163

3.12.2 Green应变张量的线化 164

3.1. 变形张量的线化 165

3.12.4 体积比的线化 167

3.13 变形梯度的相容 167

第4章 运动分析 169

4.1 物质时间导数 169

4.2 刚体运动与旋率的概念 172

4.3 速度梯度与变形梯度的物质时间导数 173

4.4 各种几何量的时间率及变形率与物质旋率的意义 175

4.4.1 线元的长度率和方向率 175

4.4.2 剪切率 177

4.4.3 变形率和物质旋率的意义 177

4.4.4 体积率 179

4.4.5 面积率 179

4.5 变形率意义的进一步解释 180

4.6 速度梯度的另一种分解 182

4.7 应变张量的物质时间导数 183

4.8 以当前构形作为参考构形 187

4.9 几种旋率 190

4.9.1 Lagrange旋率 190

4.9.2 Euler旋率 192

4.9.3 相对旋率 194

4.9.4 对数旋率 194

4.9.5 旋率不依赖坐标系的表示 195

4.9.6 讨论 200

4.10 Hill应变度量、Seth应变度量的物质时间导数 202

4.10.1 分量表示的物质应变率和空间应变率 202

4.10.2 对数应变的时间率 203

第5章 基本力学定律 209

5.1 Reynold输运定理 209

5.2 质量守恒定律 212

5.3 Reynold第二输运定理 213

5.4 动量守恒定律与动量矩守恒定律 213

5.4.1 惯参考系、动量和动量矩 213

5.4.2 应力矢量和体积力 214

5.4.3 动量守恒和动量矩守恒 216

5.5 Cauchy应力原理与运动方程 217

5.5.1 Cauchy应力原理 217

5.5.2 运动方程 221

5.5.3 Cauchy应力的对称 2

5.5.4 运动方程的等价形式 224

5.6 功率关系及机械能守恒 224

5.6.1 刚体运动上广义外力所做功率 224

5.6.2 内力功率 225

5.6.3 机械能守恒 226

5.7 固定空间区域的基本力学定律 227

5.8 参考构形上的基本力学定律 228

5.8.1 P-K应力的定义 229

5.8.2 动量守恒与动量矩守恒 1

5.8.3 机械能守恒 2

5.9 应力度量的进一步讨论

5.9.1 几种常用的应力度量

5.9.2 与Hill应变度量、Seth应变度量功共轭的应力度量

5.9.3 参考构形变换与当前构形转动下应力张量的变换 243

5.9.4 应力张量的分解 245

5.10 虚位移原理——动量守恒定律的弱形式 246

5.10.1 虚位移 247

5.10.2 当前构形上的虚位移原理 248

5.10.3 参考构形上的虚位移原理 249

5.11 以当前构形作为参考构形的应力 250

5.12 应力的物质时间导数 251

5.12.1 应力度量物质时间导数之间的关系与它们受刚体转动的影响 251

5.12.2 以当前构形作为参考构形 253

5.1. 应力的线化 255

5.13 热力学中的几个基本概念 256

5.14 热力学定律 257

5.15 热力学第二定律 259

5.15.1 热力学第二定律的经典表述 259

5.15.2 连续介质的Clausius-Duhem不等式 265

5.16 参考构形中的热力学定律 268

第6章 客观及其原理 270

6.1 随体(曲线)坐标 270

6.1.1 物质曲线坐标与空间曲线坐标系 271

6.1.2 随体坐标系 272

6.2 前推后拉运算 273

6.2.1 矢量的前推后拉运算 273

6.2.2 张量的前推后拉运算 274

6.. 应力张量前推后拉的进一步讨论 276

6.3 随体导数 277

6.4 Lie导数 278

6.5 客观 20

6.5.1 观察者改变(Euclid变换) 280

6.5.2 客观张量 282

6.5.3 一些运动量在观察者改变下的转换 284

6.6 客观率 286

6.6.1 Jaumann率与随体率 286

6.6.2 客观率 289

6.6.3 以当前构形为参考构形 290

6.6.4 讨论 291

6.6.5 P-K应力的客观率 292

6.7 标架无差异原理 293

6.8 标架无差异原理应用于热力学定律 295

第7章 本构原理 299

7.1 本构方程的一般原理 300

7.1.1 决定原理 300

7.1.2 局部原理 300

7.1.3 本构方程的标架无差异原理 302

7.2 简单物质定义的参考构形无关 304

7.3 本构方程的简化 305

7.4 物质对称 306

7.4.1 对称群的概念 306

7.4.2 对称群的质 308

7.4.3 正交张量属于对称群的充分必要条件 310

7.4.4 讨论 310

7.5 物质分类 312

7.5.1 各向同物质 312

7.5.2 简单流体 314

7.5.3 固体 317

7.5.4 流晶 320

7.6 物质内部约束 321

7.7 本构响应泛函针对不同物质质的进一步简化 325

7.7.1 无记忆的弹物质——状态函数型 325

7.7.2 有限记忆的黏弹物质——微分型 326

7.7.3 记忆衰退与有限线黏弹物质——积分型 328

7.7.4 内变量型 329

7.8 各向异与结构张量 330

7.9 各向同函数的几个重要质 332

7.9.1 质一 332

7.9.2 质二 333

7.9.3 质三 335

7.9.4 质四 336

第8章 Cauchy弹和超弹 338

8.1 Cauchy弹材料 338

8.1.1 材料的对称 339

8.1.2 各向同材料 340

8.1.3 横观各向同材料 341

8.1.4 正交各向异材料 344

8.1.5 各向异材料的空间描述 345

8.2 超弹材料 346

8.2.1 各向同材料 349

8.2.2 使用对数应变描述 353

8.. 各向异材料 354

8.2.4 不可压缩材料 357

8.2.5 近不可压缩材料 360

8.2.6 本构约束 362

8.3 各向同本构方程的一般表示 362

8.3.1 正交化的基张量 363

8.3.2 Cauchy弹的表示 367

8.3.3 超弹的表示 368

8.4 Neo-Hookean及几种常用的各向同超弹材料模型 372

8.4.1 可压缩 372

8.4.2 不可压缩 375

8.4.3 几种材料模型 375

第9章 弹边值问题分析 379

9.1 边值问题的提法 379

9.1.1 基本方程 379

9.1.2 边界条件 380

9.2 极值原理 382

9.3 解不专享与不稳定的简单例子 383

9.4 立方体受均匀拉力作用 386

9.5 球壳球对称变形 389

9.6 圆柱形薄壁管的轴对称变形 394

9.7 长方体块弯曲为(扇形)圆柱块 397

9.8 不可压缩Neo-Hookean材料平面应变问题 400

9.8.1 基本方程 400

9.8.2 基本方程在平面应变下的表示 401

9.8.3 矩形块单向受压(两个承压面上无侧向变形) 402

9.9 能动量张量与守恒 405

0章 弹增量变形 412

10.1 本构方程的增量(率) 形式 412

10.1.1 物质弹张量 412

10.1.2 空间弹张量 413

10.1.3 两点弹张量 416

10.1.4 瞬时弹张量 416

10.2 弹张量的表示 417

10.2.1 相对固定的主轴坐标系Ai 418

10.2.2 相对柱坐标系Λ,Φ,Z 421

10.. 弹张量的逆 424

10.3 Neo-Hookean超弹材料 427

10.3.1 弹张量 427

10.3.2 储能函数形式选取的原因 428

10.3.3 不可压缩与近不可压缩 430

10.4 次弹 432

10.4.1 一般表达式 432

10.4.2 一种特殊的不变 435

10.4.3 专享可积的次弹模型 440

10.5 边值问题的增量提法——基本方程的线化 441

10.5.1 一般参考构形 441

10.5.2 以当前构形作为参考构形 442

10.6 率(增量)形式的虚功率原理——虚功率原理的线化 445

10.6.1 一般参考构形 445

10.6.2 以当前构形作为参考构形 447

1章 弹稳定 449

11.1 全局解的专享与稳定 449

11.1.1 全局解的专享 449

11.1.2 全局解的稳定 451

11.2 增量解的专享与稳定 453

11.2.1 增量解的专享 453

11.2.2 增量解的稳定 454

11.. 储能函数非凸 456

11.3 分叉分析 458

11.4 变形局部化与椭圆 465

11.5 强椭圆 467

11.6 准凸和多凸 469

11.7 本构不等式 469

11.8 小变形各向同线弹体中的弹波 472

2章 热弹 476

12.1 热弹本构方程的一般表达 476

12.2 客观和热力学第二定律的约束 477

1. 热弹本构方程的表达 481

12.4 潜热和比热 482

12.5 线化的热弹本构方程 483

12.6 熵弹 46

3章 奇异面与间断条件 488

13.1 奇异面 488

13.2 运动间断条件 490

13.3 奇异面存在下的散度定理和输运定理 491

13.4 动力间断条件 493

13.4.1 空间形式 493

13.4.2 物质形式 496

13.5 特殊情况下的间断条件 497

13.5.1 运动间断 497

13.5.2 动力间断 502

附录A 一般曲线坐标的基本知识 505

A.1 协变基与逆变基 505

A.2 二阶张量的表示与基本运算 508

A.3 一般曲线坐标下的变形与应力描述 510

附录B 正交曲线坐标系 513

B.1 正交曲线坐标的特点 513

B.2 不变微分算子(梯度算子)的表示 515

B.3 不变微分算子的相关运算 516

B.3.1 矢量的梯度 516

B.3.2 矢量的散度 518

B.3.3 张量的散度 519

B.4 正交坐标系下变形梯度的表示 520

B.5 柱坐标系 524

B.6 球坐标系 528

附录C 外凸函数 531

附录D 弹(无黏)流体 534

D.1 基本方程 534

D.2 加速度有势与无旋运动 536

D.3 Bernoulli积分 539

D.4 定常绕流问题 541

D.5 热弹流体 543

D.5.1 不可压缩热弹流体 543

D.5.2 可压缩热弹流体 544

变量表 545

参考文献 550