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正版新书]几何篇-高水平中学生数学能力挑战齐亚超9787302521051
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第一章 解析几何
第一讲 直线与圆、线性规划
第二讲 曲线的方程与性质
第三讲 解析几何定点定值问题
第四讲 解析几何范围最值问题
第五讲 平面几何知识在解析几何中的应用
第六讲 参数方程与极坐标
第二章 立体几何
第一讲 球
第二讲 空间的平行、垂直关系
第三章 平面几何
第一讲 平面几何证明
第二讲 平面几何计算
第三讲 平面几何不等式
第四章 复数与复平面
第一讲 复数的基本概念
第二讲 复数的应用
附录1 近年自招选题
附录2 近年竞赛考题
第三章平面几何平面几何是初中基本必学课程,其优美简洁,从人类理性、不可辩驳、简单明了的公理出发,用严密的逻辑演化出定理,再到推理,还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程,现代任何一个学科几乎都有它的影子.中学阶段平面几何的学习主要在初中阶段,进入高中阶段,几乎不涉及纯粹的平面几何,因此熟悉和掌握一些基本定理是非常必要的.第一讲平面几何证明能力拓展1三个常用定理梅涅劳斯定理:设△ABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线(梅氏线)交于X,Y,Z三点,如图3.1.1所示,则BXXC·CYYA·AZZB=1.梅涅劳斯定理逆定理:设X,Y,Z分别是△ABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线上的三点,若有BXXC·CYYA·AZZB=1,则X,Y,Z三点共线.塞瓦定理:设X,Y,Z分别是△ABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线上的三点,如图3.1.2所示,则AX,BY,CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1.图3.1.1图3.1.2图3.1.3角元塞瓦定理:设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的点,三条线段AD,BE,CF交于点M,如图3.1.3所示,则sin∠BAMsin∠MAC·sin∠ACMsin∠MCB·sin∠CBMsin∠MBA=1.托勒密定理:四边形的两组对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形外接于一个圆.(2009年中国科技大学)如图3.1.4所示,已知△ABC的面积为1,D,E,F分别在BC,CA,AB上,BD=2DC,CE=2EA,AF=2FB,AD,BE,CF两两相交于P,Q,R,求△PQR的面积.图3.1.4【答案】17【解析】考虑直线BE截△ADC,由梅涅劳斯定理,得APPD·DBBC·CEEA=1,从而得APPD·23·21=1,所以APPD=34,故S△APB=37S△ABD=37×23S△ABC=27S△ABC.由对称性知,S△BQC=S△ARC=27S△ABC.于是,S△PQR=S△ABC-S△APB-S△BQC-S△ARC=17S△ABC=17.(2011年北京大学)已知O为△ABC内一点,且满足∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO.求证:△ABC的三边的边长构成等比数列.图3.1.5【解析】如图3.1.5所示,设∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=α,∠ABO=β,∠BCO=γ,则4α+β+γ=π.由角元塞瓦定理,可得
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