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正版新书]普通高等教育“十三五”应用型本科规划教材高等数学(
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第7章 微分方程
7.1 微分方程的基本概念
7.1.1 引例
7.1.2 微分方程定义
习题7
7.2 可分离变量微分方程
7.2.1 可分离变量微分方程定义及解法
7.2.2 可分离变量微分方程的应用
习题7
7.3 齐次型微分方程
7.3.1 齐次型微分方程定义及解法
7.3.2 可化为齐次型微分方程
习题7
7.4 一阶线性微分方程
7.4.1 一阶线性微分方程的定义
7.4.2 一阶非齐次线性微分方程的解法
7.4.3 伯努利方程
习题7
7.5 可降阶高阶微分方程
7.5.1 y″=f(x)型
7.5.2 y″=f(x,y′)型
7.5.3 y″=f(y,y′)型
习题7
7.6 高阶线性微分方程
7.6.1 二阶齐次线性微分方程解的结构
7.6.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构
习题7
7.7 二阶常系数齐次线性微分方程
习题7
7.8 二阶常系数非齐次线性微分方程
7.8.1 f(x)=Pm(x)eλx型
7.8.2 f(x)=eλx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx] 型
习题7
总复习题七
第8章 向量代数与空间解析几何
8.1 向量及其线性运算
8.1.1 向量的概念
8.1.2 向量的线性运算
8.1.3 向量的坐标表示
习题8
8.2 数量积和向量积
8.2.1 两向量的数量积
8.2.2 两向量的向量积
习题8
8.3 平面及其方程
8.3.1 平面的点法式方程
8.3.2 平面的一般式方程
8.3.3 两平面的位置关系
8.3.4 点到平面的距离
习题8
第7章微分方程微积分研究的对象是函数关系,但在大量的实际问题中,往往并不能直接得到所需的函数,却比较容易建立这些函数与它们导数或微分之间的联系,从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程,这种方程叫做微分方程。微分方程建立以后,对它进行研究并最终求
出未知函数的过程,叫做解微分方程。
微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系。本章主要介绍微分方程的一些基本概念以及几种常见微分方程的求解方法。
7。1微分方程的基本概念现实世界的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题,下面通过几何学、物理学、经济管理学领域的一些例子来阐述微分方程的基本概念。
7。1。1引例例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求曲线的方程。
解设所求曲线的方程为y=φ(x)。根据导数的几何意义可知,未知函数y=φ(x)应满足关系式dydx=2x(7。1。1)根据题意,y=φ(x)还需满足下列条件:当x=1时y=2对式(7。1。1)两端积分,得y=∫2xdx,即y=x2+C其中C是任意常数。
把条件“当x=1时y=2”代入上式,得C=1第7章微分方程7。1微分方程的基本概念[1][2]即所求曲线方程为y=x2+1例2设质量为m的物体只受重力作用由静止开始自由垂直降落。若取物体降落的垂直方向为x轴,其正向朝下,求物体下落的距离x与时间t的函数关系x=x(t)。
解根据牛顿第二定律可建立函数x(t)满足的微分方程d2xdt2=g(7。1。2)根据题意,x=x(t)满足下列条件:x(0)=0,dxdtt=0=0对式(7。1。2)两端积分一次,得dxdt=gt+C1(7。1。3)再积分一次,得x=12gt2+C1t+C2这里C1,C2都是任意常数。
把条件x(0)=0,dxdtt=0=0代入上式和式(7。1。3),得C1=0,C2=0故物体下落的距离x与时间t的函数关系为x=x(t)=12gt2例3如果某商品在时刻t的售价为P,社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数Q(P),S(P),则在时刻t的价格P(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同一时刻的超额需求量Q(P)-S(P)成正比,即有微分方程dPdt=k[Q(P)-S(P)](k>0)(7。1。4)在Q(P)和S(P)确定的情况下,可解出P(t)与时间t的函数关系(过程略)。
7。1。2微分方程定义上述三个例子中的式(7。1。1)、式(7。1。2)、
式(7。1。4)都含有未知函数的导数,它们都是微分方程。一般地,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程,有时也简称方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数,叫做微分方程的阶。如方程(7。1。1)是一阶微分方程,方程(7。1。2)是二阶微分方程。我们把未知函数
本书包括:不定积分、定积分及其应用、微分方程与差分方程、空间解析几何简介、多元函数微分学、二重积分、三重积分、无穷级数、曲线积分等内容。每章都配有习题及总复习题。 本书在编写中力求结构严谨、由浅入深、通俗易懂,可作为大学本科教材使用。
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