正版新书]数学桥 对高等数学的一次观赏之旅(美)斯蒂芬·弗莱彻·

第一章 数/1

1.1 计数/3

1.1.1 自然数/3

1.1.1.1 自然数的构造/3

1.1.1.2算术/5

1.1.2 整数/6

1.1.2.1 零和负整数的性质/7

1.1.3 有理数/8

1.1.4 序/9

1.1.4.1 使N，Z和Q有序/10

1.1.5 从一到无穷大/11

1.1.5.1 无穷集的比较/11

1.1.6 无穷算术/12

1.1.7 超越~/16

1.2 实数/19

1.2.1 怎样产生无理数/20

1.2.2 有多少个实数/24

1.2.3 代数数和超越数/25

1.2.3.1 超越数的例子/27

1.2.4 连续统假设和更大的无穷大/28

1.3 复数及其高维同伴/31

1.3.1 复数i的发现/31

1.3.2 复平面/32

1.3.2.1 复数在几何中的应用/34

1.3.3 棣莫弗定理/35

1.3.4 多项式和代数基本定理/36

1.3.4.1 多项式方程的求解/37

1.3.5 还有其他的数吗/40

1.3.5.1 四元数/41

1.3.5.2 凯莱数/43

1.4 素数/44

1.4.1计算机、算法和数学/45

1.4.2 素数的性质/46

1.4.3 素数有多少个/48

1.4.3.1素数的分布/48

1.4.4 欧几里得算法/49

1.4.4.1 欧几里得算法的速度/50

1.4.4.2 连分数/51

1.4.5 贝祖引理和算术基本定理/53

1.5 模整数/57

1.5.1 模为素数的算术/57

1.5.1.1 一个关于素数的公式/58

1.5.1.2 费马小定理/59

1.5.2 RSA密码 /60

1.5.2.1 建立 RSA体制/62

1.5.2.2 一种RSA密码体制/64

第2章 分析 /66

2.1 无穷极限/68

2.1.1 三个例子/68

2.1.1.1 阿基里斯和乌龟 /68

2.1.1.2 连续复合利率/70

2.1.1.3 方程的迭代解法/72

2.1.2 极限的数学描述/75

2.1.2.1 收敛的一般准则/78

2.1.3 极限应用于无穷和/79

2.1.3.1 一个例子∶几何级数/79

2.2 无穷和的收敛与发散/81

2.2.1 调和级数/81

2.2.2 收敛判别法/82

2.2.2.1 比较判别法/82

2.2.2.2 交错级数判别法/84

2.2.2.3 保证收敛/85

2.2.2.4 比率判别法/85

2.2.3 幂级数及其收敛半径/87

2.2.3.1 确定收敛半径/89

2.2.4 无穷级数的重新排列/89

2.3 实函数/92

2.3.1 实值函数的极限/92

2.3.2 连续函数/94

2.3.3 微分/97

2.3.3.1 例子/99

2.3.3.2 微分中值定理/102

2.3.3.3 洛必达法则/105

2.3.4 面积与积分/106

2.3.5 微积分基本定理/108

2.4 对数函数和指数函数以及 e/111

2.4.1 Inx的定义/111

2.4.2 expx的定义/114

2.4.3 欧拉数e/116

2.4.3.1 e的无理性/119

2.5 幂级数/121

2.5.1 泰勒级数/123

2.5.1.1 作为警示的例子/126

2.5.1.2 实函数的复扩张/126

2.6 T与分析学观点下的三角学/128

2.6.1 角度与扇形面积/128

2.6.1.1 π的一个级数展开式/131

2.6.2 正切、正弦和余弦/132

2.6.2.1 用幂级数定义 sinx和cosx/134

2.6.3 傅里叶级数/136

2.7 复函数/140

2.7.1 指数函数和三角函数/140

2.7.2 复函数的几个基本性质/141

2.7.3 对数函数及多值函数/142

2.7.4 复数器/143

斯蒂芬·弗莱彻·休森，数学家，1998年获得英国剑桥大学博士学位，致力于数学科普图书的创作。

摇啊摇，摇到数学桥
书评作者: 郭景海 程杰
发布媒体: 科学时报

有这样一个故事：在一个酒吧里，一个姑娘问她的情人迟到的原因，那年轻人说他在赶做一道数学题，姑娘摇着脑袋，不解地问：“我真不明白，你花那么多时间搞数学，数学到底有什么用啊？”那年轻人长久地看着她，然后说:“宝贝儿，那么爱情，有什么用啊？”

或许我们也经常这样问自己：“数学到底有什么用？”关于数学我们经常会感到很困惑，自踏入学堂就开始学习数学，所接触的教科书枯燥无味，似乎只是众多的概念和定理证明的堆叠，那些绞尽脑汁的难题让我们对数学望而生畏。当遇到一个新的名词时，我们往往不知道为什么要引入这个概念，它是不是有用的和必需的，只能从定理证明和解题中慢慢体会，但这个过程往往很漫长。数学学习就成了解各种各样的难题，而数学书就是提供解题的巧妙方法，我们对数学家们的智慧惊叹不已，却很难体会到数学的整体架构和发展历程。

这或许是布尔巴基造的孽。他那几十本《数学原理》仿佛给后世写数学书的人穿了双甩不掉的鞋，很多数学教师对这双鞋情有独钟。不知所云的名词，让人绞尽脑汁的难题，这让数学初学者望而生畏，恨自己没有数学细胞。那么，如果我们脱掉了这双沉重的鞋，是否会有轻松的方式引领我们观赏数学世界呢？斯蒂芬·弗莱彻·休森独辟蹊径，所著的《数学桥》一书将数学知识以一种截然不同的方式展示给我们。如译者所言，它不是教科书，也不是普及读物，而是介于这两点之间的“普及性教科书”；它以高中数学为起点，以一种轻松有趣的方式娓娓道来，向我们展示了大学数学中的核心内容和亮点。我们在欣赏那些令人惊叹的结果的同时，可以领略数学的自然之美和使用价值。

《数学桥》中，当引入一个新的数学概念时，首先会向我们介绍它的应用背景，这样就不会显得突兀。我们可以明白这个数学名词并不是数学家凭空捏造的，更不是从天上掉下来的，而是有用的和必需的。这样，我们在学习一个数学理论的同时，也了解了理论背后的数学思想。比如，斯蒂芬·弗莱彻·休森在介绍无穷极限时，并没有一开始就把无穷极限的定义、性质扔到读者面前。通过阿基里斯和乌龟的赛跑比赛为切入点，以影响比赛结果的因素为无穷极限下定义，在分析比赛结果的同时，向读者介绍了无穷极限的性质、技巧。这样抓住重点，徐徐道来，令人不知不觉地就进入了数学美境。形式上也有定义、定理等等，但已不再是从天而降的飞来之物。

《数学桥》非常具有谈话性，而且各个部分相对独立，一个论题对另一个论题的依赖性也较低。只要可能，基本上每个章节都从头谈起，所以适合不同层次水平、不同需要的读者。从这个意义上看，该书可以说是以高中数学为基础，对大学不同阶段数学课程的串联、整合。对大多数学生而言，学习、理解高等数学都不是一件容易的事。特别是在以应试为主要目的的背景下，数学课程的设置没有完整的系统性，学生理解高等数学的难度更大。这就需要一本联系起不同阶段数学课程的综合性、概括性的参考书，而在现阶段，国内类似水平的书籍着实稀缺，就更突显了这本书的价值。

在阅读本书的时候需要一些数学技巧，所以这本书要求读者要具备一些中学数学基础。对于学习高等数学的本科生，通过它能了解大学数学课程中各个“亮点”；对于业余数学爱好者，通过它能够了解数学是干什么的；而对于数学教师，通过它能对数学有更深层次的理解和感悟，从中激发自己和学生的兴趣，了解数学的真正艺术。

就像其名字一样，这本书就好比一座桥梁，它能帮你顺利完成从初等数学到高等数学的过渡。数学是一门既令人惊叹又让人愉悦的生机勃勃的学科，是一种无与伦比的艺术形式，而《数学桥》正是我们打开艺术之门的一把钥匙。读完这本书，你会惊奇地发现：你已经爱上了这门艺术。

摇啊摇，摇到数学桥
书评作者: 郭景海 程杰
发布媒体: 科学时报
有这样一个故事：在一个酒吧里，一个姑娘问她的情人迟到的原因，那年轻人说他在赶做一道数学题，姑娘摇着脑袋，不解地问：“我真不明白，你花那么多时间搞数学，数学到底有什么用啊？”那年轻人长久地看着她，然后说:“宝贝儿，那么爱情，有什么用啊？”

或许我们也经常这样问自己：“数学到底有什么用？”关于数学我们经常会感到很困惑，自踏入学堂就开始学习数学，所接触的教科书枯燥无味，似乎只是众多的概念和定理证明的堆叠，那些绞尽脑汁的难题让我们对数学望而生畏。当遇到一个新的名词时，我们往往不知道为什么要引入这个概念，它是不是有用的和必需的，只能从定理证明和解题中慢慢体会，但这个过程往往很漫长。数学学习就成了解各种各样的难题，而数学书就是提供解题的巧妙方法，我们对数学家们的智慧惊叹不已，却很难体会到数学的整体架构和发展历程。

这或许是布尔巴基造的孽。他那几十本《数学原理》仿佛给后世写数学书的人穿了双甩不掉的鞋，很多数学教师对这双鞋情有独钟。不知所云的名词，让人绞尽脑汁的难题，这让数学初学者望而生畏，恨自己没有数学细胞。那么，如果我们脱掉了这双沉重的鞋，是否会有轻松的方式引领我们观赏数学世界呢？斯蒂芬·弗莱彻·休森独辟蹊径，所著的《数学桥》一书将数学知识以一种截然不同的方式展示给我们。如译者所言，它不是教科书，也不是普及读物，而是介于这两点之间的“普及性教科书”；它以高中数学为起点，以一种轻松有趣的方式娓娓道来，向我们展示了大学数学中的核心内容和亮点。我们在欣赏那些令人惊叹的结果的同时，可以领略数学的自然之美和使用价值。

《数学桥》中，当引入一个新的数学概念时，首先会向我们介绍它的应用背景，这样就不会显得突兀。我们可以明白这个数学名词并不是数学家凭空捏造的，更不是从天上掉下来的，而是有用的和必需的。这样，我们在学习一个数学理论的同时，也了解了理论背后的数学思想。比如，斯蒂芬·弗莱彻·休森在介绍无穷极限时，并没有一开始就把无穷极限的定义、性质扔到读者面前。通过阿基里斯和乌龟的赛跑比赛为切入点，以影响比赛结果的因素为无穷极限下定义，在分析比赛结果的同时，向读者介绍了无穷极限的性质、技巧。这样抓住重点，徐徐道来，令人不知不觉地就进入了数学美境。形式上也有定义、定理等等，但已不再是从天而降的飞来之物。

《数学桥》很好具有谈话性，而且各个部分相对独立，一个论题对另一个论题的依赖性也较低。只要可能，基本上每个章节都从头谈起，所以适合不同层次水平、不同需要的读者。从这个意义上看，该书可以说是以高中数学为基础，对大学不同阶段数学课程的串联、整合。对大多数学生而言，学习、理解高等数学都不是一件容易的事。特别是在以应试为主要目的的背景下，数学课程的设置没有完整的系统性，学生理解高等数学的难度更大。这就需要一本联系起不同阶段数学课程的综合性、概括性的参考书，而在现阶段，国内类似水平的书籍着实稀缺，就更突显了这本书的价值。

在阅读本书的时候需要一些数学技巧，所以这本书要求读者要具备一些中学数学基础。对于学习高等数学的本科生，通过它能了解大学数学课程中各个“亮点”；对于业余数学爱好者，通过它能够了解数学是干什么的；而对于数学教师，通过它能对数学有更深层次的理解和感悟，从中激发自己和学生的兴趣，了解数学的真正艺术。

就像其名字一样，这本书就好比一座桥梁，它能帮你顺利完成从初等数学到高等数学的过渡。数学是一门既令人惊叹又让人愉悦的生机勃勃的学科，是一种无与伦比的艺术形式，而《数学桥》正是我们打开艺术之门的一把钥匙。读完这本书，你会惊奇地发现：你已经爱上了这门艺术。

传播数学文化，展示数学魅力，培育数学思维，陶冶数学情怀。
本书好比一座数学桥，它帮你从以重复性解题操练为基础的高中数学，平安顺利地过渡到以系统性思想探究为主旨的高等数学。如果你即将或正在学习高等数学，那么本书将是你学习道路上的好伴侣；如果你已经学完了高等数学，那么不妨也来浏览一下，你很可能会说：“哎呀，原来是这么回事！”

数学经常会让我们感到很困惑，数学教科书又枯燥无味，似乎只是众多的概念和定理证明的堆叠，而似乎没有尽头的题海更让我们对数学望而生畏。当遇到一个新的数学名词时，我们往往不知道为什么要引入这个概念，导致对其一知半解。
斯蒂芬·弗莱彻·休森所著的《数学桥》一书独辟蹊径，将数学知识以一种截然不同的方式展示给我们。它不是教科书，也不是普及读物，而是介于这两点之间的“普及性教科书”；它以高中数学为起点，以一种轻松有趣的方式娓娓道来，向我们展示了大学数学中的核心内容和亮点。我们在欣赏那些令人惊叹的结果的同时，可以领略数学的自然之美和使用价值。
在《数学桥》一书中，每当引入一个新的数学概念，首先作者会介绍它的应用背景，让我们明白这个数学名词并不是数学家凭空捏造的，这样我们在学习一个数学理论时，也了解了理论背后的数学思想。
《数学桥》是一本杂交型的“普及型教科书”，它比通常的数学书更直观、更亲切也更具谈话性。各个部分相对独立，一个论题对另一个论题的依赖性也较低。基本上每个章节都从头谈起，所以适合不同层次水平、不同需要的读者。从这个意义上看，该书可以说是以高中数学为基础，对大学不同阶段数学课程的串联、整合。在以应试为主要目的的背景下，数学课程的设置没有完整的系统性，学生理解高等数学的难度更大。而本书的价值就在于，它是一本联系起不同阶段数学课程的综合性、概括性的参考书，是现阶段稀缺的数学科普书。
在阅读本书的时候需要一些数学技巧，所以这本书要求读者要具备一些中学数学基础。对于学习高等数学的本科生，通过它能了解大学数学课程中各个“亮点”；对于业余数学爱好者，通过它能够了解数学是干什么的；而对于数学教师，通过它能对数学有更深层次的理解和感悟，从中激发自己和学生的兴趣，了解数学的真正艺术。