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[正版]初等代数研究 管艳,丁玮,戴文荣,谌德 编著
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作为高校数学系的教师,作者在教学过程中发现以下现象:学生在大学和中学学过的内容关联度不大,当他们到中学实习以及毕业后到中学任教时,大学所学的用不上由于学生的认知水平的局限性,导致知识体系零散;学生计算能力较强,但逻辑思维、推理能力、应用能力较弱.
鉴于此,为了适应数学教育的改革,上海师范大学的四位教师借鉴他人的宝贵经验,结合近年来教学过程中发现的问题,编写了本教材.作者团队在以下几个方面做了创新的尝试和努力.
一、为了适应目前的数学教育改革,本教材新加入了组合数学初步、概率论、数理统计和数学建模四个板块.
二、针对《标准》中给出的数学文化的内涵及考核要求,本教材从数学发展史的角度,力图展现每个知识点的来龙去脉,渗透数学文化,强调数学思想、方法和应用.
三、加强大学与中学数学知识的联系,将二者充分融合.
本书编写遵循结构化的理念,将知识体系层层递进、系统融合,更好地解决了学生知识碎片化问题.书中渗透数学思想,重视数学文化,加强数学建模,增加组合数学初步、概率论与数理统计.图书内容密切联系中学与大学数学实际,逻辑严谨、分析透彻,是一本适应新时代教育改革需要的优秀教材.
为适应目前数学教育改革趋势,我们特组织一批骨干教师对师范生必修课程《初等代数研究》进行教材方面的改革.《初等代数研究》包括:数系、式、函数、方程、不等式、数列、组合数学初步、概率论、数理统计和数学建模十个部分.
本书依据最新课程标准(高中和义务教育阶段)中对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大数学核心素养的考查要求,设置相应板块,旨在整合学生的知识体系,加强大学数学与中学数学知识的联系,将二者充分融合.
本书可作为全日制高等师范院校培养本科生、研究生的教材或参考书,也可以作为数学教师、数学爱好者的参考书.第一章 数系
1.1数的概念的扩展
1.1.1数的概念发展简史
1.1.2数系扩展的方式与原则
1.2自然数集
1.2.1基数理论
1.2.2序数理论
1.2.3自然数集的性质
1.2.4自然数的减法与除法
1.2.5数学归纳法
1.3整数环
1.3.1整数概念
1.3.2整数运算与整数环
1.3.3整数集的性质
1.3.4整除和同余
1.4有理数域
1.4.1有理数的概念
1.4.2有理数的顺序
1.4.3有理数的运算
1.4.4有理数集的性质
1.5实数域
1.5.1无理数的引入
1.5.2实数概念及其顺序
1.5.3实数集的运算
1.5.4实数集的性质
1.6复数域
1.6.1复数概念与复数域的构成
1.6.2复数的表示形式
1.6.3复数的开方
1.6.4复数的性质
习题一
第二章 式
2.1解析式的概念与分类
2.1.1解析式的分类
2.1.2解析式的恒等
2.2多项式
2.2.1多项式的基本概念
2.2.2多项式的恒等
2.2.3多项式的因式分解
2.2.4多项式因式分解的特点
2.3分式
2.3.1基本概念及性质
2.3.2分式恒等变形举例
2.4根式
2.4.1算术根的定义
2.4.2算术根的运算法则
2.4.3根式的化简
2.4.4复合二次根式
2.4.5根式计算举例
2.5指数式与对数式
2.5.1指数式
2.5.2对数式
2.6三角式与反三角式
2.6.1三角式
2.6.2反三角式
习题二
第三章 函数
3.1函数的概念与性质
3.1.1函数的定义
3.1.2函数的表示法
3.1.3函数的四则运算
3.1.4反函数
3.1.5复合函数
3.1.6分段函数
3.2函数的定义域与值域
3.2.1函数的定义域
3.2.2函数的值域
3.3函数的几种特性
3.3.1有界性
3.3.2单调性
3.3.3奇偶性
3.3.4周期性
3.3.5凸凹性
3.4初等函数及其分类
3.4.1基本初等函数
3.4.2初等函数
3.5极限与连续
3.5.1极限
3.5.2函数的连续性
3.6导数与微分
3.6.1导数与可微的概念
3.6.2求导法则
3.7函数的图像
习题三
第四章 方程
4.1方程的概念、分类及同解性
4.1.1方程的概念
4.1.2方程的分类
4.1.3方程的同解性
4.2整式方程
4.2.1一元n次方程根的性质
4.2.2一元三次方程的解法
4.2.3一元四次方程的解法
4.2.4关于五次以上方程的求解公式
4.2.5高次方程的一些解法
4.2.6倒数方程
4.3分式方程
4.4无理方程
4.5不定方程
4.6初等超越方程
4.6.1指数方程
4.6.2对数方程
4.6.3三角方程和反三角方程
4.7方程组
4.7.1方程组的概念
4.7.2方程组的分类
4.7.3方程组的同解性
4.7.4方程组的解法举例
习题四
第五章 不等式
5.1不等式的概念与性质
5.1.1不等式的概念
5.1.2不等式的性质
5.2解不等式
5.2.1不等式的同解性
5.2.2代数不等式的解法
5.2.3初等超越不等式的解法
5.3不等式的证明
5.4著名的不等式
习题五
第六章 数列
6.1等差数列和等比数列
6.1.1等差数列
6.1.2等比数列
6.2数列的通项与部分和
6.2.1求数列的通项与部分和的常用方法
6.2.2数列中的最值问题
6.3数列的极限
6.3.1数列极限的定义与柯西收敛准则
6.3.2数列极限的性质
6.3.3极限存在的充分条件
6.4级数与数列
6.4.1数项级数与数列
6.4.2幂级数与数列
6.4.3傅里叶级数与数列
习题六
第七章 组合数学初步
7.1排列与组合
7.1.1枚举计数
7.1.2加法原理与乘法原理
7.1.3排列与排列数
7.1.4组合与组合数
7.2包含容斥原理
7.3抽屉原则
7.4数学归纳法
7.5组合趣题
7.5.1染色问题
7.5.2操作与游戏
7.5.3组合最值
习题七
第八章 概率论
8.1随机事件及其概率
8.1.1随机事件
8.1.2频率与概率的统计定义
8.1.3古典概型与古典概率
8.1.4伯努利概型与二项概率公式
8.1.5几何概型与几何概率
8.1.6概率的公理化定义
8.2随机变量及其分布和数字特征
8.2.1离散型随机变量的分布
8.2.2连续型随机变量的分布
8.2.3随机变量的分布函数
8.2.4随机变量的数字特征—数学期望和方差
8.2.5随机变量的独立性、协方差与相关系数
8.2.6常见的随机变量的概率分布(族)
8.3大数定律与中心极限定理
8.3.1切比雪夫不等式
8.3.2大数定律
8.3.3中心极限定理
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