[正版] 书籍吴军数学通识讲义 原来数学可以这样用 文津图书奖得主吴军全新力作 一本写给所有人的数学通识讲义

给所有人的数学通识课：数学的抽象思维令人望而却步，对于靠经验来感知、认识世界的我们，必须要有一座桥梁才能走进数学的世界。这本书就是这样一座桥梁

作为一切科学的基础，数学具有化繁为简、直击本质的思维方式，提升自己的数学思维水平，能够帮助你做出正确判断

数学的发展史，就是人类认知的发展史：从直观到抽象，从静态到动态，从宏观到微观，从随意到确定再到随机，跟随数学的发展过程，逐步扩展自己的认知水平。

文津图书奖获得者吴军老师全新力作

总 序 001

前 言 009

基础篇

第 1 章 理解数学的线索：从毕达哥拉斯讲起

1.1 勾股定理：为什么在西方叫毕达哥拉斯定理 022

1.2 数学的预见性：无理数是毕达哥拉斯定理的推论 030

1.3 数学思维：如何从逻辑出发想问题 036

1.4 黄金分割：数学和美学的桥梁 045

1.5 优选法：华罗庚化繁为简的神来之笔 058

第 2 章 数列与级数：承上启下的关键内容

2.1 数学的关联性：斐波那契数列和黄金分割 070

2.2 数列变化：趋势比当下重要 075

2.3 级数：传销骗局里的数学原理 079

2.4 等比级数：少付一半利息，多获得一倍回报 092

第 3 章 数学边界：数学是的吗

3.1 数学的局限性：从勾定理到费马大定理 104

3.2 探寻数学的边界：从希尔伯特第十问题讲起 108

数字篇

第 4 章 方程：新方法和新思维

4.1 鸡兔同笼问题：方程这个工具有什么用 116

4.2 一元三次方程的解法：数学史上的发明权之争 126

4.3 虚数：虚构的工具有什么用 135

第 5 章 无穷大和无穷小：从数值到趋势

5.1 无穷大：为什么我们难以理解无限大的世界 143

5.2 无穷小：芝诺悖论和它的破解 149

5.3 第二次数学危机：牛顿和贝克莱的争论 156

5.4 极限：重新审视无穷小的世界 163

5.5 动态趋势：无穷大和无穷小能比较大小吗 171

几何篇

第 6 章 基础几何学：公理化体系的建立

6.1 几何学的起源：为什么几何学是数学中古老的分支 186

6.2 公理化体系：几何学的系统理论从何而来 194

第 7 章 几何学的发展：开创不同数学分支融合的先河

7.1 非欧几何：换一条公理，几何学会崩塌吗 205

7.2 圆周率：数学工具的意义 214 

7.3 解析几何：如何用代数的方法解决几何问题 221

7.4 体系的意义：为什么几何能为法律提供理论基础 232

代数篇

第 8 章 函数：重要的数学工具

8.1 定义和本质：从静态到动态，从数量到趋势 244

8.2 因果关系：决定性和相关性的差别 253

第 9 章 线性代数：超乎想象的实用工具

9.1 向量：数量的方向与合力的形成 262

9.2 余弦定理：文本分类与简历筛选 278

9.3 矩阵：多元思维的应用 284

微积分篇

第 10 章 微分：如何理解宏观和微观的关系

10.1 导数：揭示事物变化的新规律 300

10.2 微分：描述微观世界的工具 307

10.3 奇点：变化连续和光滑是稳定性的基础 312

第 11 章 积分：从微观变化了解宏观趋势

11.1 积分：微分的逆运算 323

11.2 积分的意义：从细节了解全局 327

11.3 化问题：用变化的眼光看值和小值 333

11.4 发明权之争：牛顿和莱布尼茨各自的贡献 342

*11.5 体系的完善：微积分公理化的过程 348

概率和数理统计篇

第 12 章 随机性和概率论：如何看待不确定性

12.1 概率论：一门来自赌徒的学问 364

12.2 古典概率：拉普拉斯对概率的系统性论述 366

12.3 伯努利试验：随机性到底意味着什么 371

12.4 均值与方差：理想与现实的差距 378

第 13 章 小概率和大概率：如何资源共享和消除不确定性

13.1. 泊松分布：为什么保险公司必须有很大的客户群 386

13.2 高斯分布：大概率事件意味着什么 393

*13.3 概率公理化：理论和现实的统一 404

第 14 章 前提条件：度量随机性的新方法

14.1 前提条件：条件对随机性的影响 415

14.2 差异：概率、联合概率和条件概率 421

14.3 相关性：条件概率在信息处理中的应用 430

14.4 贝叶斯公式：机器翻译是怎样工作的 433

第 15 章 统计学和数据方法：准确估算概率的前提

15.1 定义：什么是统计学 442

15.2 实践：怎样做好统计 446

15.3 古德 - 图灵折扣估计：如何防范黑天鹅事件 450

15.4 换个眼光看世界：概率是一种世界观，统计是一种方法论 459

终篇

第 16 章 数学在人类知识体系中的位置

16.1 数学和哲学：一头一尾的两门学科 468

16.2 数学和自然科学：数学如何改造自然科学 474

16.3 数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础 480

16.4 数学和其他学科：为什么数学是更底层的工具 486

16.5 未来展望：希尔伯特的讲演 493

附录

附录 1 黄金分割等于多少 497

附录 2 为什么斐波那契数列相邻两项的比值收敛于黄金分割 498

附录 3 等比级数求和算法 500

附录 4 一元 N 次方程 x N =1 的解 501

附录 5 积分的其他两种计算方法 503

附录 6 大数定律 505

附录 7 希尔伯特退休讲演的英文译文 507

终篇

第 16 章 数学在人类知识体系中的位置

21.1 数学和哲学 /458 

21.2 数学和自然科学 /465 

21.3 数学和逻辑学 /469 

21.4 数学和其他学科 /473

21.5 数学家希尔伯特退休前的讲演 /478 

非数学思维 VS. 数学思维

在讲什么是数学思维之前，先要说说什么不是数学思维。

首先，听众人的意见不是数学思维。数学不是民主决策，赞同的声音越大越正确。事实上很多人凑在一起，智商常常不是增加而是下降，这就是所谓的群体效应。

其次，听专家的意见不是数学思维。很多人在做判断时会相信专家，绝大多数时候，这是一个好的习惯，但是专家也会有漏判和误判的时候。这里我想以一个例子来说明。2008—2009年的金融危机是历史上危害仅次于 1929—1933 年全球大萧条的经济危机，它让很多家庭倾家荡产，包括很多极为富有、受教育程度很高的人。在金融危机之后，英国女王问全世界的经济学家们，这么大的危机，这么明显的问题，你们这么多人怎么没有一个人预测到呢？这让经济学家们很没面子。

其实女王多少有点错怪经济学家这个群体了。整体来看，他们当时确实是过于乐观了，但是也有一些经济学家之前确实做过很多预警。而那些被预警的问题，一旦引起注意后，大多会被防范，之后就不再是问题。因此换一个角度讲，经济学家们已经帮助我们避免了很多次的经济危机了。当然，经济学家们也不是神，总会有误判的时候，当大部分人都出现误判时，真正的危机就来了。但是，在那次金融危机中，还是有一些人利用数学思维避开了风险，而且

赚得盆满钵满，这一点我们在后面会讲到。

，数学思维不是通过以往的经验或者多次试验得到结论。这种方法更像是自然科学的思维方式，而不是数学的。事实上，很多时候，通过大量试验所得到的结果依然可能是错误的。比如我们要比较 10 000x 和 x²哪一个大，如果从 x=1 开始试验，一直试到 100，都是 10 000x 大。但是如果我们因此而得到结论 10 000x> x²， 那就错了。那么可能有人会问，为什么不直接试试 x=20 000 呢？因为人们能够想象到的例子常常受限于自身的认知。如果一个人平时接触的数量通常都是个位数的，他就很难想到10 000、20 000 这些大很多的数。

还是在 2008—2009 年的金融危机中，有一次摩根士丹利私人财富管理部门召集客户们（都是非常有钱的人）开会分析当时的金融状况。主讲人说，根据历次经济危机股市的表现，只要实体经济

没有受到重创，股市通常会下跌 1/4～1/3。一位参会者马上就说：“先生，你太乐观了，我们现在正在创造历史”。这位发言者的话很快被证实了，因为股市很快就跌了一半。这说明人的经验通常是有

局限性的。

那么什么是数学思维？它是从不可能变的事实出发，利用逻辑找出矛盾，发现问题，然后再设法解决问题。什么是不变的事实呢？比如说宇宙中基本粒子的数量是有限的，任何经济增长都不可能是长期翻番的，这些就是不变的事实。具体到金融中，一个不变的事实就是，任何建立在空中楼阁之上的复利增长都难以持续，比如庞氏骗局。

如何一眼识破庞氏骗局、做好理财、投资？

如何在购房贷款时做出*选择？

如何增加简历通过初筛的几率？

如何规划公司的发展曲线？

更重要的是，

如何提升自己的认知水平？

如何改变自己的思维方式？

……

如果你也关注这些问题，希望借助数学思维来更好地提升自己、认知世界，这本书希望你一定要看。

这是一本写给所有人的数学通识讲义，书中通过关键知识点串联起整个数学体系，帮助你逐步建立起属于自己的数学知识结构。而贯穿全书的数学发展史，其实就是人类认知的发展史，你可以借此逐步训练自己的认知：从直观到抽象，从静态到动态，从宏观到微观，从随意到确定再到随机。

吴    军

博士，知名自然语言处理和搜索专家，硅谷风险投资人。他的著作《数学之美》荣获国家图书馆第八届文津图书奖、第五届中华出版物奖，《文明之光》被评为2014年“中国好书”，《浪潮之巅》荣获“蓝狮子2011年十大商业图书”奖。

吴军博士曾经担任谷歌研究员，设计了谷歌中、日、韩文搜索算法以及谷歌的自然语言分析器。2010—2012年担任腾讯负责搜索和搜索广告等业务的副总裁，后回到谷歌负责计算机自动问答项目。

吴军博士自2008年开始从事风险投资，并于2014年作为创始合伙人创立了硅谷丰元资本风险投资基金。他也是上海交通大学客座研究员和约翰•霍普金斯大学工学院董事。