音像机械制图(机类近机类第4版)编者:冯涓//杨惠英//王玉坤

绪论
篇 投影基础
章 制图的基本知识
1.1 标准基本规定
1.2 投影法及其分类
小结
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 点的投影
2.2 直线的投影
. 平面的投影
2.4 直线与平面及两平面间的相对位置
小结
第3章 投影变换
3.1 概述
3.2 换面法
3.3 旋转法简介
小结
第2篇 体的构成及表达方法
第4章 基本体的投影
4.1 体的三面投影——三视图
4.2 基本体的三视图
小结
第5章 平面与立体相交
5.1 平面与平面体相交
5.2 平面与回转体相交
小结
第6章 立体与立体相交
6.1 平面体与回转体相贯
6.2 回转体与回转体相贯
6.3 多体相贯
小结
第7章 组合体
7.1 组合体的组合方式及表面过渡关系
7.2 组合体的画图方法
7.3 组合体视图的阅读方法
小结
第8章 机件图样的画法
8.1 视图
8.2 剖视图
8.3 断面图
8.4 规定画法和简化画法
8.5 第三角投影法简介
小结
第9章 轴测图
9.1 轴测图的基本知识
9.2 正等轴测图
9.3 斜二等轴测图
9.4 轴测剖视图
小结
0章 尺寸标注基础

第3章投影变换3.1概述在工程实践中，经常需要解决一系列有关点、线、面等几何元素之间的空间几何问题，这些问题大致可分为以下两类：（1）度量问题：包括求直线的实长和平面的实形；点到直线或平面的距离，两平行直线、两交叉直线或两平行平面之间的距离；直线或平面对投影面的倾角以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角的实际大小等。
（2）定位问题：包括直线与直线、直线与平面的交点的位置，几何元素间的连接点的位置等。
由第2章知，当几何元素与投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它在投影面上的投影具有反映实长、实形等某些特。但是，当几何元素与投影面处于一般位置时，它在投影面上的投影是不能直接反映这些特的。
如图31（a）所示，六边形ABCDEF与投影面处于一般位置，它的两个投影都不反映实形。而在图31（b）中，六边形ABCDEF与H面平行，它的水平投影abcdef反映实形。
同样，在图32（a）中，由于直线AB与投影面处于一般位置，不能从投影图上直接测得点M到直线AB的实际距离。而在图32（b）中，由于直线AB垂直于H面，其水平投影积聚成一点，故可直接测得点M到直线AB的实际距离（mk）。
图31正六边形的投影图32点到直线的距离由以上分析可知，若将直线、平面等空间几何元素与投影面的相对位置，由一般位置变换成特殊位置，很多度量问题就容易解决了。
投影变换就是研究如何改变空间几何元素与投影面间的相对位置，借于改变后的辅投影，简便地解决空间问题。
常用的投影变换方法有换面法和旋转法。本章重点介绍换面法，简要介绍旋转法。
3.2换面法换面法就是空间几何元素或它们的集合在原投影面体系中的位置不动，而用一辅投影面代替原有的某一投影面，使其在新投影面体系中处于对解题利的位置。
3.2.1新投影体系的建立图33换面法如图33所示，直线AB在VH投影面体系中处于一般位置，它在两个投影面上的投影都不反映实长。若用平行于直线AB的辅投影面P1代替V面，则直线AB在新投影面体系P1H中为P1面的平行线，它在P1面上的投影反映实长，即a1b1=AB。
换面法的主要特点是建立一个新投影面体系。在选择辅投影面时，应考虑下列两个因素：（1）辅投影面必须与空间几何元素处于对解题利的位置。
（2）辅投影面必须垂直于被保留的那个投影面，两者构成一个新的互相垂直的两投影面体系，以便应用正投影原理。
3.2.2点的投影变换规律点是一切几何体的基本元素，掌握点的投影变换规律是学习换面法的基础。
1.更换一次投影面1）新投影面体系的建立如图34（a）所示，在互相垂直的两投影面体系VH中，作出了点A的两个投影a、a′。设根据某种需要，用垂直于H面的辅投影面P1代替V面，而H面保持不变，从而建立一个新投影面体系P1H，平面P1与H面的交线X1是新投影轴。
图34点的一次变换——更换V面作出点A在平面P1上的投影a1，便得到了点A在P1H体系中的两个投影a和a1，它们代替了VH体系中的投影a和a′。
2）新旧投影之间的关系当平面P1按图34（a）所示箭头方向绕X1轴旋转到与H面重合时，点A的投影连线aa1垂直于X1轴。
由于新旧投影体系有同一个水平面H，故点A到H面的距离不变，即a′ax=a1ax1点的一次变换的作图规律如下：（1）点的新投影与被保留的投影面上的原投影的连线垂直于新投影轴。
（2）点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
3）求新投影的作图方法如图34（b）所示，画出新投影轴X1，由a向X1引垂线，并在其上量取a1ax1=a′ax，即得点A的新投影a1。
图35是更换H面的点的一次变换。
图35点的一次变换——更换H面由图34和图35可以看出，在绘制点的新投影时，总是由该点的不变投影向新投影轴作垂线，并在其上自新投影轴起量取一段距离，使该段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
2.更换两次投影面在解决实际问题时，有时必须连续地两次，甚至更多次地更换投影面。
图36是更换两次投影面的情形，即先将V面更换为P1面（P1⊥H），得到一个中间投影面体系P1H，再将H面更换为平面P2（P2⊥P1），得到一个新的投影面体系P1P2，它代替了原来的投影面体系VH。
图36点的二次变换求点A的新投影a2的作图方法与更换一次投影面时求a1的作图方法完全相同，只是将作图过程依次再重复一次。
必须指出，更换投影面时，由于辅投影面必须垂直于不变的那个投影面，所以，只能顺次更换各个投影面，而不能一次更换两个投影面。当解题需要时，可以连续多次更换投影面。
3..4个基本问题及作图方法1.一般位置直线变换成投影面平行线图37一般位置直线变换成投影面平行线1）空间分析如图37（a）所示，AB为一般位置直线，为了将AB变换成投影面平行线，用平面P1代替V面，并使P1既平行于直线AB，又垂直于H面，这样AB在新投影面体系P1H中便成为投影面平行线了。
2）投影作图作图的关键是确定新投影轴X1的位置。本例中X1应平行于ab（为什么？）。当X1轴的位置确定后，按点的一次变换的作图方法，求出直线AB的两个端点的新投影a1、b1，连接a1b1，即为直线AB的新投影。
经上述变换后，可得到如下结果：（1）直线AB（ab，a1b1）在新投影面体系P1H中变成辅投影面P1的平行线。
（2）新投影a1b1反映线段AB的实长。
（3）a1b1与X1轴的夹角α反映直线AB与H面夹角的实际大小。
思考：本例中若更换V面应如何作图？会得到什么结果？
2.一般位置直线变换成投影面垂直线1）空间分析图38一般位置直线变换成投影面垂直线如图38（a）所示，若将一般位置直线AB变换成投影面垂直线，则只更换一次投影面不能解决问题。因为与一般位置直线垂直的平面必定是一般位置平面，它不可能与原投影面H、V中的任何一个构成相互垂直的新投影面体系。因此，必须顺序更换两次，即先将一般位置直线变换成投影面平行线，再把投影面平行线变换成投影面垂直线。
在图38（a）中，首先将V面更换为P1面（P1⊥H，且P1∥AB），使直线AB在新投影面体系P1H中成为投影面平行线；然后将H面更换成P2面（P2⊥P1，且P2⊥AB），使直线AB在投影面体系P1P2中成为投影面垂直线。
2）投影作图如图38（b）所示，在图37（b）把一般位置直线AB变换成投影面平行线的基础上，引入新的辅投影轴X2⊥a1b1（为什么？），作出直线AB在平面P2上的投影a2b2（积聚为一点）即可。
经上述变换后，可得到如下结果：（1）直线AB（a1b1，a2≡b2）在新投影面体系P1P2中变成辅投影面P2的垂直线。
（2）直线在辅投影面P2上的投影有积聚。
3.一般位置平面变换成投影面垂直面1）空间分析图39（a）中△ABC为一般位置平面，要将其变换成投影面垂直面，必须作一辅投影面与它垂直。根据两平面互相垂直的条件，辅投影面应垂直于△ABC内的一条直线。但要把一般位置直线变换成投影面垂直线需要变换两次，而把投影面平行线变换成投影面垂直线则只需变换一次。为简化作图，可先在△ABC内取一投影面平行线，如水平线AD，然后作辅平面P1⊥AD，P1面也同时垂直于H面。
图39一般位置平面变换成投影面垂直面2）投影作图如图39（b）所示，在△ABC内取水平线AD（ad，a′d′），作轴X1⊥ad，作出A、B、C各点在P1面上的投影a1、b1、c1并连接之，则得△ABC的新投影。
经上述变换后，可得到如下结果：（1）△ABC（abc，a1b1c1）在新投影面体系P1H中成为辅投影面P1的垂直面。
（2）新投影a1b1c1与X1轴的夹角α反映该平面与H面夹角的实际大小。
思考：若选△ABC内的正平线作辅线，应如何解题？会得到什么结果？
4.一般位置平面变换成投影面平行面1）空间分析要把一般位置平面变换成投影面平行面，直接作一个辅投影面与其平行是不行的（为什么？），应首先将其变换成投影面垂直面，然后再变换成投影面平行面，即必须连续作两次变换。
如图310所示，经一次变换把△ABC由一般位置平面变换成投影面垂直面后，再选取一个辅投影面P2，并使其既垂直于平面P1，又平行于△ABC，这样，△ABC在新投影面体系P1P2中就成为辅投影面P2的平行面了。
2）投影作图如图311所示，首先按照把一般位置平面变换成投影面垂直面的方法，作出△ABC在P1面上的投影a1b1c1，然后画新投影轴X2∥a1b1c1，作出△ABC在投影面P2上的投影a2b2c2即可。
图310投影面垂直面变换成投影面平行面图311一般位置平面变换成投影面平行面经上述变换后，可得到如下结果：（1）△ABC（a1b1c1，a2b2c2）在新投影面体系P1P2中成为辅投影面P2的平行面。
（2）△a2b2c2反映△ABC的实形。
3.2.4换面法图解实例例31求点M到△ABC的距离（图312（a））。
分析：如图312（b）所示，当△ABC垂直于投影面P1时，它在P1面上的投影积聚成直线a1b1c1，由m1作直线a1b1c1的垂线m1k1，则m1k1为点M到△ABC的距离的实长（当△ABC垂直于投影面P1时，其垂线MK平行于平面P1）。这样，问题的实质归结为：将一般位置平面变换成投影面垂直面。
图312求点M到△ABC的距离作图：如图312（c）所示，首先将平面ABC变换成辅投影面P1的垂直面，同时作出点M在P1面上的投影m1，由m1作直线a1b1c1的垂线m1k1，则m1k1为所求。
例32过点M作直线MK与一般位置直线AB垂直相交（图313（a））。
图313过点M作直线与AB垂直相交分析：根据两直线垂直的投影特，当互相垂直的两条直线中有一条平行于投影面时，它们在该投影面上的投影仍互相垂直。因此，为了能在投影图上直接过点M作直线AB的垂线，必须首先将直线AB变换成投影面平行线。这样，问题的实质就归结为：将一般位置直线变换成投影面平行线。
作图：如图313（b）所示，以辅投影面P1代替H面，使P1面既平行于直线AB，又垂直于V面（X1∥a′b′）。其作图过程由图自明。点K返回去的作图方法如图313(b)中箭头所示。
例33求两交叉直线AB、CD的公垂线MN（图314（a））。
分析：如图314（b）所示，如使平面P2垂直于两交叉直线中的某一条直线，例如CD，则公垂线MN与AB之间的直角在P2面上的投影仍为直角，即m2n2⊥a2b2，且通过直线CD在P2面上的投影c2≡d2。问题的实质归结为：将一般位置直线变换成投影面垂直线。
图314求两交叉直线AB、CD的公垂线MN作图：如图314（c）所示，首先将直线CD在投影面体系P1H（X1∥cd）中变换成P1面的平行线，再在投影面体系P1P2（X2⊥c1d1）中变换成P2面的垂直线，这时，它在P2面上的投影积聚为一点c2≡d2。同时，直线AB也一起变换两次。
过点c2≡d2作m2n2⊥a2b2，m2n2即为所求公垂线的新投影，且反映实长（为什么？）。
由点m2在a1b1上确定m1；过m1作直线平行于X2轴（为什么？），从而在c1d1上确定n1；根据点在直线上的投影特，求出公垂线MN的另两个投影mn、m′n′。
例34用半径为10的圆弧光滑连接两相交直线A、，求出圆弧的圆心角θ及连接点M、N的位置（图315（a））。
图315用圆弧光滑连接两相交直线分析：相交两直线A、构成平面ABC，当平面ABC平行于投影面时，A、的连接圆弧在该投影面上的投影反映实形（为什么？），从而可以确定连接圆弧的圆心角θ的实际大小及连接点M、N的位置。因此，问题的实质归结为：将一般位置平面变换成投影面平行面。
作图：如图315（b）所示，变换两次将平面ABC变换成辅投影面P2的平行面，用几何作图方法画出a2b2、b2c2的半径为10的连接圆弧，并确定连接点M、N的辅投影m2、n2，圆弧的圆心角反映实际大小。
根据点在直线上的投影特，求出连接点M、N的投影m1、n1、m、n、m′、n′。
3.3旋转法简介旋转法的特点是投影面保持不动，而使空间几何元素或它们的集合绕某一轴线旋转一个角度，使其与投影面处于对解题利的位置。通常是绕投影面垂直线旋转，需要时，也可在绕某一投影面的垂直线旋转后，再绕另一投影面的垂直线旋转。本节只介绍两种常用的只旋转一次的变换情况。
3.3.1点的旋转直线、平面等几何元素以投影面垂直线为轴旋转一个角度，实际上就是直线、平面等几何元素上的诸点均绕该轴旋转同一个角度。因此，应首先了解点旋转时的作图规律，从而掌握用旋转法进行投影变换的基本作图方法。
如图316（a）所示，点A绕铅垂线ⅠⅠ旋转时，其轨迹是一个圆，该圆位于垂直于旋转轴的水平面P上。因此，点A的轨迹在V面上的投影为一条水平线，在H面上的投影反映实形，即以o为圆心，以oa为半径的一个圆。如果点A旋转θ角到达点A1的位置，则在水平投影上反映出θ角的实际大小，点A的水平投影由a点旋转到a1点，而正面投影则沿水平线移动，由a′移到a′1的位置，如图316（b）所示。
图316绕铅垂线旋转图317绕正垂线旋转图317表示点A绕正垂线旋转的情形。由于点A的旋转平面P平行于V面，所以它的运动轨迹在V面上的投影反映实形，是一个圆。而在H面上的投影是一条与旋转轴垂直的直线。