音像数学桥:对高等数学的一次观赏之旅(美)斯蒂芬·弗莱彻·休森

目 录
章 数/1
1.1 /3
1.1.1 自然数/3
1.1.1.1 自然数的构造/3
1.1.1.2算术/5 1.1.2 整数/6
1.1.2.1 零和负整数的质/7
1.1.3 有理数/8 1.1.4 序/9
1.1.4.1 使N，Z和有序/10
1.1.5 从一到无穷大/11
1.1.5.1 无穷集的比较/11
1.1.6 无穷算术/12
1.1.7 ~/16 1.2 实数/19
1.2.1 怎样产生无理数/20
1.2.2 有多少个实数/24
1.. 代数数和数/25
1...1 数的例子/27
1.2.4 连续统设和更大的无穷大/28
1.3 复数及其高维同伴/31
1.3.1 复数i的发现/31
1.3.2 复平面/32
1.3.2.1 复数在几何中的应用/34
1.3.3 棣莫弗定理/35
1.3.4 多项式和代数基本定理/36
1.3.4.1 多项式方程的求解/37
1.3.5 还有的数吗/40
1.3.5.1 四元数/41
1.3.5.2 凯莱数/43 1.4 素数/44
1.4.1计算机、算法和数学/45
1.4.2 素数的质/46
1.4.3 素数有多少个/48
1.4.3.1素数的分布/48
1.4.4 欧几里得算法/49
1.4.4.1 欧几里得算法的速度/50
1.4.4.2 连分数/51
1.4.5 贝祖引理和算术基本定理/53
1.5 模整数/57
1.5.1 模为素数的算术/57
1.5.1.1 一个关于素数的公式/58
1.5.1.2 费马小定理/59
1.5.2 RSA密码 /60
1.5.2.1 建立 RSA体制/62
1.5.2.2 一种RSA密码体制/64
第2章 分析 /66
2.1 无穷极限/68
2.1.1 三个例子/68
2.1.1.1 阿基里斯和乌龟 /68
2.1.1.2 连续复合利率/70
2.1.1.3 方程的迭代解法/72
2.1.2 极限的数学描述/75
2.1.2.1 收敛的一般准则/78
2.1.3 极限应用于无穷和/79
2.1.3.1 一个例子∶几何级数/79
2.2 无穷和的收敛与发散/81
2.2.1 调和级数/81
2.2.2 收敛判别法/82
2.2.2.1 比较判别法/82
2.2.2.2 交错级数判别法/84
2.2.. 收敛/85
2.2.2.4 比率判别法/85
2.. 幂级数及其收敛半径/87
2...1 确定收敛半径/89
2.2.4 无穷级数的重新排列/89
. 实函数/92
..1 实值函数的极限/92
..2 连续函数/94 .. 微分/97
...1 例子/99
...2 微分中值定理/102
...3 洛必达法则/105
..4 面积与积分/106
..5 微积分基本定理/108
2.4 对数函数和指数函数以及 e/111
2.4.1 Inx的定义/111
2.4.2 expx的定义/114
2.4.3 欧拉数e/116
2.4.3.1 e的无理/119
2.5 幂级数/121
2.5.1 泰勒级数/1
2.5.1.1 作为警示的例子/126
2.5.1.2 实函数的复扩张/126
2.6 T与分析学观点下的三角学/128
2.6.1 角度与扇形面积/128
2.6.1.1 π的一个级数展开式/131
2.6.2 正切、正弦和余弦/132
2.6.2.1 用幂级数定义 sinx和cosx/134
2.6.3 傅里叶级数/136
2.7 复函数/140
2.7.1 指数函数和三角函数/140
2.7.2 复函数的几个基本质/141
2.7.3 对数函数及多值函数/142
2.7.4 复数器/143

摇啊摇，摇到数学桥
书评作者: 郭景海 程杰
发布媒体: 科学时报
有这样一个故事：在一个酒吧里，一个姑娘问她的情人迟到的原因，那年轻人说他在赶做一道数学题，姑娘摇着脑袋，不解地问：“我真不明白，你花那么多时间搞数学，数学到底有什么用啊？”那年轻人长久地看着她，然后说:“宝贝儿，那么爱情，有什么用啊？”

或许我们也经常这样问自己：“数学到底有什么用？”关于数学我们经常会感到很困惑，自踏入学堂就开始学习数学，所接触的教科书枯燥无味，似乎只是众多的概念和定理明的堆叠，那些绞尽脑汁的难题让我们对数学望而生畏。当遇到一个新的名词时，我们往往不知道为什么要引入这个概念，它是不是有用的和必需的，只能从定理明和解题中慢慢体会，但这个过程往往很漫长。数学学习就成了解各种各样的难题，而数学书就是提供解题的巧妙方法，我们对数学家们的智慧惊叹不已，却很难体会到数学的整体架构和发展历程。

这或许是布尔巴基造的孽。他那几十本《数学原理》仿给后世写数学书的人穿了双甩不掉的鞋，很多数学教师对这双鞋情有独钟。不知所云的名词，让人绞尽脑汁的难题，这让数学初学者望而生畏，恨自己没有数学细胞。那么，如果我们脱掉了这双沉重的鞋，会有轻松的方式我们观赏数学世界呢？斯蒂芬·弗莱彻·休森独辟蹊径，所著的《数学桥》一书将数学知识以一种截然不同的方式展示给我们。如译者所言，它不是教科书，也不是普及读物，而是介于这两点之间的“普及教科书”；它以高中数学为起点，以一种轻松有趣的方式娓娓道来，向我们展示了大学数学中的核心内容和亮点。我们在欣赏那些令人惊叹的结果的同时，可以领略数学的自然之美和使用价值。

《数学桥》中，当引入一个新的数学概念时，首先会向我们介绍它的应用背景，这样就不会显得突兀。我们可以明白这个数学名词并不是数学家凭空捏造的，更不是从天上掉下来的，而是有用的和必需的。这样，我们在学习一个数学理论的同时，也了解了理论背后的数学思想。比如，斯蒂芬·弗莱彻·休森在介绍无穷极，并没有一开始就把无穷极限的定义、质扔到读者面前。通过阿基里斯和乌龟的赛跑比赛为切入点，以影响比赛结果的因素为无穷极限下定义，在分析比赛结果的同时，向读者介绍了无穷极限的质、技巧。这样抓住重点，徐徐道来，令人不知不觉地就进入了数学美境。形式上也有定义、定理等等，但已不再是从天而降的飞来之物。

《数学桥》很好具有谈话，而且各个部分相对独立，一个论题对另一个论题的依赖也较低。只要可能，基本上每个章节都从头谈起，所以适合不同层次水平、不同需要的读者。从这个意义上看，该书可以说是以高中数学为基础，对大学不同阶段数学课程的串联、整合。对大多数学生而言，学习、理解高等数学都不是一件容易的事。特别是在以应试为主要目的的背景下，数学课程的设置没有完整的系统，学理解高等数学的难度更大。这就需要一本联系起不同阶段数学课程的综合、概括的参考书，而在现阶段，国内类似水平的书籍着实，就更突显了这本书的价值。

在阅读本书的时候需要一些数学技巧，所以这本书要求读者要具备一些中学数学基础。对于学习高等数学的生，通过它能了解大学数学课程中各个“亮点”；对于业余数学爱好者，通过它能够了解数学是干什么的；而对于数学教师，通过它能对数学有更深层次的理解和感悟，从中激发自己和学生的兴趣，了解数学的真正艺术。

就像其名字一样，这本书就好比一座桥梁，它能帮你顺利完成从初等数学到高等数学的过渡。数学是一门既令人惊叹又让人愉悦的生机勃勃的学科，是一种无与伦比的艺术形式，而《数学桥》正是我们打开艺术之门的一把钥匙。读完这本书，你会惊奇地发现：你已经爱上了这门艺术。

传播数学文化，展示数学魅力，培育数学思维，陶冶数学情怀。
本书好比一座数学桥，它帮你从以重复解题操练为基础的高中数学，平安顺利地过渡到以系统思想探究为主旨的高等数学。如果你即将或正在学习高等数学，那么本书将是你学习道路上的好伴侣；如果你已经学完了高等数学，那么不妨也来浏览一下，你很可能会说：“哎呀，原来是这么回事！”