新高考数学第19题应对策略

《新高考数学第19题应对策略》

ISBN：978-7-209-15378-2

定价：88.00元

编辑推荐

由大学教授、数学竞赛背景等名师专家组成强大作者队伍，能够更好地把握新定义题型，助力考生真正突破新定义题型第19题。分集合、数列、函数、几何、概率、初等数论、大学数学七个专题。每个专题下又设有小专题，并按照新概念、新运算、新性质、新背景等进行分类，方便读者查找和使用。

内容简介

全书围绕集合、函数、数列、几何、概率、初等数论、大学数学七大核心专题展开论述，全面覆盖高考数学新定义基础知识体系。每个大专题下又细分若干小专题，并依据新概念、新运算、新性质、新背景等标准进行分类，帮助读者迅速定位所需知识点与练习题，极大地方便了读者的查找与使用。

书中每一专题按照真题、模拟题、原创题的顺序编排，收录了约三百道高质量习题，通过多样化的题型设置，全面提升应试者分析与解决问题的能力。习题讲解细致全面，从基础知识入手，帮助学生有效掌握概念，让学习过程简单易懂。题目新颖，囊括2024年9月更新题型，确保内容的前沿性。

本书每一专题前均设有详尽的方法概述，对本专题的出题方向、解题思路进行全面总结，揭示常见陷阱与制胜秘诀，让考生对这一专题有一个提纲挈领式的认识。通过构建清晰的解题路径指引，培养考生系统化学习习惯。同时借助典型例题演练，加深理论应用理解，强化考生的举一反三能力。

作者简介

张天德

山东大学数学学院教授，泰山学堂卓越教授，山东省高等学校教学名师，中国科学技术协会·教育部“中学生英才计划”十周年优秀导师，全国大学生数学竞赛山东赛区负责人，国家精品在线开放课程、国家一流本科课程、山东省课程思政示范课程负责人，山东国家应用数学中心拔尖人才培养基地副主任，山东省青少年科技教育协会素质提升与拔尖人才培养专业委员会主任。获国家级教学成果二等奖（2项），获全国优秀教材（高等教育类）二等奖（2本）。曾在国内外学术刊物发表论文70余篇，出版中学、大学专业教材、数学竞赛、考研辅导工具书 150 余部。

安学保

山东省高考数学阅卷领导小组成员，山东省高中数学兼职教研员，山东省数学会常务理事，正高级教师，济南市教育教学研究院评估部主任，济南市高中数学教研员。济南市优秀教师，济南名师。在《数学通报》《中学数学教学参考》《中国数学教育》《中学数学教学杂志》等期刊发表论文四十余篇。

刘波

海军航空大学航空基础学院副教授。连续十年获山东省大学生数学竞赛优秀指导教师，2023、2024连续两年获全国大学生数学竞赛优秀指导教师，指导学生获多项决赛一等奖。全国大学生奥林匹克数学竞赛命题专家，主持山东省数学思政课题一项，出版教材及专著十余部（吉米多维奇数学分析习题集题解（第五版）主编）。所辅导的多名高中学生被清华大学、北京大学、上海交通大学、厦门大学等985高校录取，辅导学生参加高中数学竞赛，多人获一等奖。

王芝平

北京市特级教师、北京市首届名师、北京市数学学科教学带头人，中国数学奥林匹克教练员。获北京市人民政府“第三届北京市基础教育教学成果一等奖”(第一完成人)，首届全国教材建设基础教育类特等奖。人民教育出版社高中数学A版教科书与配套教师教学用书核心作者，教材培训特聘专家。对高中数学教学、高考备考与强基计划都有深入的研究和丰富的实战经验，应邀在全国各地培训教师与学生数百场。学生数十人考入清华、北大。

曾熊

毕业于中国科学院数学与系统科学研究院，翻译出版《数学反思》《新的、更新的、最新的不等式》等数学竞赛著作，对高考竞赛数学试题有比较深入的研究，所带学生多人获得高中数学竞赛、美国数学竞赛等的奖励，并顺利考取清华、北大、武大等一流高校。

王家河

张天德教学团队骨干成员。硕士研究生，毕业于山东大学数学学院，曾入选中国科协中学生英才计划并获优秀营员，高考数学和总分均居山东省前列。长期研究新高考数学，多次在数学竞赛中获奖，参与撰写《新高考数学专题冲刺30讲》等多本高考书籍。熟悉新高考数学重难点，讲授数学培优课，助力近百名学生考入985名校。

前  言

随着教育理念的演进与社会需求的转变，高考数学题型迎来深刻革新。自2024年新高考始，试卷结构进行调整，题目数量减少，考试总题数由过去的22道减少至19道。单项选择题的数量保持不变，仍为8道，而多项选择题、填空题和解答题各减少1道。

以往考试，造成考生过度依赖刷题式的记忆与技巧，忽视创造性思考与数学逻辑体系的建立。同时，偏重技巧理论与公式，轻视数学的实际应用场景。改革后，引入开放题型，在激发学生批判性思维与原创精神的同时，强化实用视角，淡化死记硬背，紧密联结数学原理与数学逻辑，增强学生利用数学知识解决实际问题的能力。

这一改革不仅是对考试形式做了简单调整，更促使教育生态获得全面升级，给考生带来了全新的挑战。题型结构变化后，多项选择题、填空题和解答题数量减少，多项选择题和解答题的分值占比增大，答题容错率降低，对答题准确性要求更高。且考题顺序打破常规，提升增加了考生的适应难度的能力，需要考生具备更强的应变能力和快速调整解题思路的能力。另外，压轴题难度提高且分值增加，对考生的综合分析能力、创新思维和逻辑推理能力提出了更高的要求。为适应新的试卷结构和考试要求，应对更加灵活多变的试题内容和顺序，考生不仅应加强对基础知识的掌握和综合运用，更需重塑学习数学的习惯，尤其应强调对数学定义的理解和公式的推导，强化实践与创意思维，从而更好地适应全新的评价体系。

在新高考数学新的评价体系下，新定义类试题更综合地考查学生的思维能力和推理能力。以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，使考生在思维过程中领悟数学方法。题目更加注重综合性、应用性、创新性，题目分值变高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更为深入。

压轴题（第19题）命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式和多角度的提问，考查学生的数学理论的构建能力。新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的。遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决。这对考生而言难度较大，需重点特训。

为了帮助考生尽可能地解决这个问题，充分备战2025年高考数学，我们特地推出了这本《新高考数学第19题应对策略》。本书由山东大学数学学院教授张天德与山东省高考数学阅卷领导小组成员安学保担任总主编，引领全书创作方向，同时汇聚来自各领域的顶尖名师与专家学者。团队成员兼具高等教育经历与竞赛指导背景，学术造诣深厚，实战经验丰富，尤其擅长破解新型题目的核心要义。得益于这样一支专业且敬业的团队，我们才能够精心编写出这本兼具权威性、实用性与创新性的辅导书籍。

本书具有以下特点：

一、章节划分，科学有序；检索查询，便捷高效。

全书围绕集合、函数、数列、几何、概率、初等数论、大学数学七大核心专题展开论述，全面覆盖高考数学新定义基础知识体系。每个大专题下又细分若干小专题，并依据新概念、新运算、新性质、新背景等标准进行分类，帮助读者迅速定位所需知识点与练习题，极大地方便了读者的查找与使用。

二、海量精选，讲解细致；题型新颖，内容前沿。

书中每一专题按照真题、模拟题、原创题的顺序编排，收录了约三百道高质量习题，通过多样化的题型设置，全面提升应试者分析与解决问题的能力。习题讲解细致全面，从基础知识入手，帮助学生有效掌握概念，让学习过程简单易懂。题目新颖，囊括2024年9月更新题型，确保内容的前沿性。

三、方法总结，全面实用；策略导航，加深理解。

本书每一专题前均设有详尽的方法概述，对本专题的出题方向、解题思路进行全面总结，揭示常见陷阱与制胜秘诀，让考生对这一专题有一个提纲挈领式的认识。通过构建清晰的解题路径指引，培养考生系统化学习习惯。同时借助典型例题演练，加深理论应用理解，强化考生的举一反三能力。

综上所述，本书集权威师资、系统架构、丰富题目与高效策略于一体，旨在全方位赋能备考学子，助其攻克新定义题型难关，相信本书会成为考生备战2025年新高考数学的良师益友。

编者水平有限，书中疏漏之处在所难免，不足之处敬请读者批评指正,以利改进。

目 录

1.新情景、新定义下的集合论问题

方法技巧与总结 2

集合论中的新概念问题 3

集合论中的新运算问题 8

集合论中的新性质问题 11

集合论中的新背景问题 15

2.新情景、新定义下的函数问题

方法技巧与总结 24

曼哈顿距离问题 25

双曲函数问题 27

三角函数中的新定义问题 30

曲率与曲率半径问题 35

二元函数问题 40

函数杂论 42

3.新情景、新定义下的数列问题

方法技巧与总结 53

高考真题中数列新定义问题 54

2024年各地模拟题中数列新定义问题64

数列新定义中的创新问题 74

考数学第 题应对策略

4.新情景、新定义下的几何问题

方法技巧与总结 92

空间立体几何中的新定义问题 93

平面解析几何中的新定义问题 99

空间解析几何中的新定义问题 108

5.新情景、新定义下的概率统计问题

方法技巧与总结 113

二项式定理与排列组合中的新定义问题 114

初等概率统计中的新定义问题 119

高等背景下概率论中的新定义问题 126

6.新情景、新定义下的初等数论问题

方法技巧与总结 136

进位制与数对序列中的新定义问题 137

群伦与置换中的新定义问题 139

余数与约数中的新定义问题 147

7.新情景、新定义下的大学数学问题

方法技巧与总结 154

微积分中的新定义问题 156

线性代数中的新定义问题 166

8.附 录

附录 A坐标系的拓展、参数方程及常见曲线及其图形176

附录B仿射变换与坐标轴的旋转182

附录C柯西不等式、Aczel不等式与权方和不等式184

附录 D高阶导数、参数方程的导数、反函数的导数185

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