- 商品参数
-
- 作者:
无著|
贾丽丽,朴丽莎编
- 出版社:科学出版社
- 开本:16开
- ISBN:9784968523843
- 版权提供:科学出版社
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内容介绍
本书根据gao等学校经济管理类数学基础课程的教学基本要求编写而成,是云南da学滇池学院精品课程建设项目成果之一。
全书分上、下两册,共三篇内容.本书为上册,主要介绍diyi篇微积分,内容包括一元函数微积分学、微分方程、多元函数微积分学、无穷级数。书中每章配有习题,书末附有习题参考答案.本书结构清晰,概念准确,贴近考研,可读性强,便于学生自学,且能启发和培养学生的自学能力,并配有电子教案和录屏课件,便于广da师生的教与学。
目录
目录
前言
diyi篇 微积分
第1章 函数、J限与连续 3
1.1 函数 3
1.2 J限 12
1.3 无穷小与无穷da 17
1.4 J限的计算 19
1.5 函数的连续性 24
习题1 30
第2章 导数与微分 32
2.1 导数的概念 32
2.2 导数的计算 37
2.3 微分 45
习题2 49
第3章 微分中值定理与导数的应用 51
3.1 微分中值定理 51
3.2 洛必达法则 56
3.3 函数的单调性与曲线的凹凸性 61
3.4 函数的J值与zui值 65
*3.5 导数在经济学中的应用 69
习题3 77
第4章 不定积分 79
4.1 不定积分的概念与性质 79
4.2 换元积分法 83
4.3 分部积分法 90
*4.4 不定积分在经济中的应用 93
习题4 95
第5章 定积分 99
5.1 定积分的概念 99
5.2 定积分的性质 102
5.3 微积分基本定理 105
5.4 定积分的计算 107
5.5 定积分的应用 110
5.6 广义积分 117
习题5 122
第6章 微分方程 126
6.1 微分方程的基本概念 126
6.2 一阶微分方程 128
6.3 二阶线性微分方程 132
习题6 137
第7章 多元函数微积分学 139
7.1 多元函数的基本概念 139
7.2 偏导数与全微分 143
7.3 多元复合函数与隐函数求导法 148
7.4 多元函数的J值 152
7.5 二重积分 157
习题7 169
第8章 无穷级数 172
8.1 常数项级数的概念与性质 172
8.2 正项级数 176
8.3 任意项级数 180
8.4 幂级数 183
8.5 函数展开成幂级数 189
习题8 192
习题参考答案 194
参考文献 200
在线试读
diyi篇 微积分
第1章 函数、J限与连续
函数是现代数学的基本概念之一,是gao等数学的主要研究对象.J限概念是微积分的理论基础,J限方法是微积分的基本分析方法.因此,掌握haoJ限方法是学hao微积分的关键,本章将介绍函数、J限与连续的基本知识和有关的基本方法,为今后的学习打下必要的基础.
1.1 函数
一、概念
1.实数与区间
由于微积分中的函数是在实数范围内来讨论的,因此我们先简单介绍实数集的有关知识.
有理数和无理数统称为实数,实数的全体所构成的集合称为实数集,记为R.数轴是一条有原点、有方向和单位长度的直线,如图1-1所示.
实数与数轴上的点是一一对应的,此外,常用的实数集合还有区间,其定义如下:
定义1.1设a,b∈R,且a
(1)开区间;
(2)闭区间;
(3)半开、半闭区间;
(4)无穷区间,
通常,将开区间、阔区间、半开半闭区间和无穷区间统称为区间,并用I表示.
2.邻域
在今后的讨论中,有时需要考虑由某点xo附近的所有点构成的集合,为此,引入邻域的概念.
定义1.2设δ为某个正数,称开区间(xo-δ,xo+δ)为点xo的δ邻xo为该邻域的中心,δ为该邻域的半径,记作U (xo,万)(图1-2).
若把邻域U (xo,δ)的中心x去掉,所得到的邻域称为点xo的去心δ邻域,记为U (xo,δ)(图1-3).
图1-2
图1-3
称开区间(xo-δ,xo)为点x0的左δ邻域,(xo,x0+δ)为点x0的右δ邻域,更一般地,以x。为中心的任何开区间均是点xo的邻域,当不需要特别辨明邻域的半径时,简记为U(x0).
3.函数
函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型.本章我们先讨论两个变量的情形(多个变量的情形将在第7章介绍).
定义1.3设D是一个非空实数集,如果按照某一确定的对应法则f,对于每一个x∈D,都有weiyi确定的实数y与之对应,则称对应法则f为定义在D上的函数,记作
其中,x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域,也记作Df,f(x)称为函数f在x处的函数值,全体函数值的集合,称为函数的值域,记作Rf或者f(D),即
关于函数的定义域,在实际间题中应根据间题的实际意义具体确定.如果讨论的是纯数学间题,则往往取使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合作为该函数的定义域,这种定义域又称为函数的自然定义域.
例如,函数y= In(l - X2)的(自然)定义域为开区间(-1,1).
注意由定义1.3知,确定一个函数需要两个要素,即定义域和对应法则.如果两个函数的定义域和对应法则都相同,我们称这两个函数相同,
例1判断y=x与是否为相同的函数.
解y=x的定义域为(-∞,+∞),而的定义域为,因此y=x与是定义域不同的两个不同的函数(图1-4与图1-5).
图1-4
图1-5
函数的常用表示法有二种:
(1)表格法将白变量的值与对应的函数值列成表格的方法.
(2)图像法在坐标系中用图形来表示函数关系的方法.
(3)解析法将自变量和因变量之间的关系用数学表达式(又称为解析表达式)来表示的方法.根据函数的解析表达式的形式不同,函数也可分为显函数、隐函数和分段函数三种.
(i)显函数函数少由x的解析表达式直接表示.例如y= X2 +2.
(ii)隐函数函数的白变量x与冈变量y的对应关系由方程F(x,y)=0来确定.例如.
(iii)分段函数函数在定义域的不同范围内,具有不同的解析表达式.以下是几个分段函数的例子.
例2JD值函数
定义域D=(-∞,+∞),值域Rf =[0,+∞),如图1-6所示.
例3符号函数
定义域D=(-∞,+∞),其中x=0为分段点,值域Rf={-1,0,1},如图1-7所示.
例4取整函数
其中[x]表示不超过x的zui人正数,显然有[x]≤x<[x]+1.
例如,[2.6]=2,[-2.4]=-3.易见,取整函数的定义域D-(-∞,+∞),值域Rf=Z (Z是全体整数集),如图1-8所示.
图1-6
图1-7
图1-8
二、函数的性质
1.有界性
定义1.4设函数f(x)在区间』上有定义,若存在正数M,当x∈I时,恒有f(x)≤M成立,则称函数f(x)为区间,上的有界函数;如果不存在这样的正数M,则称函数f(x)为区间,上的无界函数.如图1-9所示,有界函数y=f(x)的图形夹在两条直线y=M和v = -M之间.
例如,当x∈(-∞,+∞)时,恒有cosx≤1,所以f(x)= cosx在(-∞,+∞)内是有界函数,而y=x3在(-∞,+∞)内是无界函数,有的函数可能在定义域内的某一部分有界,而在另一部分无界.例如,y= In(x -1)在区间(1,+∞)内无界,而在(2,3)内有界,因此,我们说一个函数是有界的还是无界的,应同时指出其白变量的相应范闱.
2.单调性
定义1.5设函数f (x)在区间I上有定义,对于任意的x1,x2∈I,当x1
(1)f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2),则称f(x)在I内单调增加(或单调减少);
(2)f(xl)
f(x:)),则称f (x)在,内严格单调增加(或严格单调减少).
例如,y =x3在(-∞,+∞)内严格单调增加,如图1-10所示,而y=X2在(-∞,0)内严格单调减少;在(0,+∞)内严格单调增加,但在整个定义域R内不足单调函数,如图1-11所示.
图1-10
图1-11
例5证明函数在(-1,+ ∞)内是单调增加的函数.
证在(-1,+∞)内任取两点x1和x2,且x1 因为x1和x2是(-1,+∞)内任意两点,所以
又因为x1-x2<0,故f(x1) -f(x2)<0,即f(x1) 所以,在(-1,+∞)内是单调增加的.
3.奇偶性
定义1.6设函数f(x)的定义域D关于原点对称,对于任意的x∈D,有
(1)f(x)=-f(-x),则称f (x)为D内的奇函数;
(2)f(x)=f(-x),则称f (x)为D内的偶函数.
由定义1.6易知,奇函数的图像关于原点对称,而偶函数的图像关于y轴对称,例如, 1